connexité par arcs

Imaginez un disque plein dessiné sur une feuille. Choisissez deux points à l’intérieur : le segment qui les joint reste dans le disque. Vous pouvez donc aller de l’un à l’autre sans saut et sans sortir de l’ensemble.

La connexité par arcs exprime cette possibilité de tracer un trajet continu entre n’importe quels points. Le trajet peut se courber et revenir sur lui-même ; seule sa continuité compte. Un ensemble d’un seul tenant ne possède pas toujours cette propriété plus exigeante.

Soit X un espace topologique. Pour deux points x et y de X, un chemin de x à y est une application continue c définie sur l’intervalle [0, 1], à valeurs dans X, avec c(0) = x et c(1) = y. Le paramètre parcourt le trajet : il indique une position dans X entre le départ et l’arrivée.

L’espace X est connexe par arcs lorsque chaque couple de points x et y peut être relié par au moins un tel chemin. Le chemin n’a pas à être unique, rectiligne ni injectif. Dans un sous-ensemble convexe d’un espace euclidien, le segment fournit le choix naturel : $c(t)=(1-t)x+ty,0\le t\le 1c(t)=(1-t)x+ty,\backslash quad\; 0\backslash le\; t\backslash le\; 1$.

La connexité par arcs implique la connexité. L’implication inverse est fausse : le sinus du topologiste est connexe, mais certains de ses points ne peuvent être joints par un chemin. L’image d’un espace connexe par arcs par une application continue est encore connexe par arcs. Un homéomorphisme étant une application bijective continue dont l’inverse est continu, cette propriété ne dépend pas de la représentation topologique choisie.

Considérons le disque fermé D de centre O et de rayon 1. Prenons les points A de coordonnées (−0,6 ; 0,3) et B de coordonnées (0,7 ; −0,2). Leurs distances au carré à O valent respectivement 0,45 et 0,53 : A et B appartiennent donc à D.

1. Pour un paramètre t compris entre 0 et 1, choisissons le point c(t) du segment allant de A à B : $c(t)=(1-t)A+tBc(t)=(1-t)A+tB$.

2. Aux extrémités du paramètre, c(0) = A et c(1) = B. À mi-parcours, c(0,5) = (0,05 ; 0,05), point situé près du centre O.

3. Tout le segment reste dans D. En effet, pour la distance à O, l’inégalité triangulaire donne $\parallel c(t)\parallel \le (1-t)\parallel A\parallel +t\parallel B\parallel \le 1\backslash lVert\; c(t)\backslash rVert\backslash le(1-t)\backslash lVert\; A\backslash rVert+t\backslash lVert\; B\backslash rVert\backslash le1$.

La même construction fonctionne pour n’importe quels points de D : le disque est connexe par arcs. Le contrôle consiste à remplacer A et B par deux autres points du disque et à vérifier que leurs combinaisons (1 − t)A + tB restent de distance au plus 1 à O.

Pour prouver qu’un domaine convexe est connexe par arcs, on choisit deux points quelconques et on paramètre le segment qui les relie. Le critère à vérifier est que chaque point du segment reste dans le domaine.

Si les segments sortent du domaine, on cherche plutôt un trajet continu en plusieurs morceaux. Cette méthode convient lorsqu’un obstacle empêche la ligne droite, mais laisse un passage continu à l’intérieur de l’ensemble.

Lorsqu’un espace est obtenu comme image continue d’un espace déjà connexe par arcs, on transporte les chemins par l’application. Il faut alors vérifier que l’application atteint bien tous les points de l’espace étudié.

Connexité. Un espace connexe ne se partage pas en deux ouverts disjoints non vides. La connexité par arcs demande davantage : un chemin doit exister entre chaque paire de points. Le sinus du topologiste satisfait la première propriété, pas la seconde.

Arc géométrique simple. Dans la définition donnée ici, le chemin est seulement continu. Il peut se recouper, s’arrêter ou repasser par le même point. Exiger un tracé injectif, sans répétition, imposerait une condition supplémentaire qui n’intervient pas dans le test de connexité par arcs.

Le sinus du topologiste. La fermeture du graphe de la fonction x ↦ sin(1/x), pour 0 < x ≤ 1, comprend un segment vertical d’accumulation. L’ensemble entier est connexe, mais aucun chemin ne relie ce segment au graphe oscillant. Il faut donc rechercher des chemins, et non se fier à l’impression d’un seul tenant.

Un chemin particulier ne suffit pas. Relier quelques points, ou seulement un point de référence à certains autres, ne prouve rien sur les points oubliés. Une preuve doit traiter tout point de l’espace ; relier chaque point à un même point de base suffit alors, car deux chemins peuvent être parcourus à la suite.

Continuité sans surjectivité. Une application continue préserve la connexité par arcs sur son image, pas forcément sur tout son espace d’arrivée. Pour conclure sur l’espace d’arrivée entier, il faut vérifier que chaque point y possède un antécédent.

La fiche connexité - topologie - présente la propriété plus générale impliquée par la connexité par arcs et aide à comprendre précisément pourquoi la réciproque échoue.