Relèvement (théorème de)

Imaginez un point qui fait un tour sur un cercle. On peut suivre ce mouvement sur une droite graduée en enregistrant l’angle parcouru : le départ vaut 0, le demi-tour vaut π et le tour complet vaut 2π. Cette trajectoire sur la droite est un relèvement du trajet circulaire.

Le théorème affirme qu’une fois choisie la valeur de départ, la trajectoire relevée ne peut pas bifurquer. Sous des hypothèses adaptées, elle existe sur tout le trajet.

Un revêtement est une application continue p d’un espace X vers un espace Y telle que chaque point de Y possède un voisinage dont l’image réciproque est une réunion disjointe d’une ou plusieurs copies de ce voisinage, chacune projetée homéomorphiquement sur lui. Soit f une application continue d’un espace Z vers Y. Un relèvement de f est une application continue g de Z vers X telle que projeter g par p redonne f : $p\circ g=fp\backslash circ\; g=f$.

Dans le cadre usuel où Z est connexe et localement connexe par arcs, le choix d’un point z₀ de Z et d’un point x₀ de X au-dessus de f(z₀) détermine au plus un relèvement vérifiant g(z₀) = x₀. L’unicité signifie que deux relèvements ayant cette même valeur initiale coïncident partout.

L’existence est automatique si Z est simplement connexe dans ce cadre. Plus généralement, elle dépend des groupes fondamentaux basés : le critère est $f_{\ast }{\pi }_1(Z,z_0)\subseteq p_{\ast }{\pi }_1(X,x_0)f\_*\backslash pi\_1(Z,z\_0)\backslash subseteq\; p\_*\backslash pi\_1(X,x\_0)$. Autrement dit, après application de f, toute classe de boucles fondées en z₀ doit provenir, par p, d’une classe de boucles fondées en x₀. La simple connexité est donc une condition suffisante, mais pas nécessaire.

Soit p un revêtement de X sur Y. Soit Z un espace connexe et localement connexe par arcs, muni d’un point z₀, et soit f une application continue de Z vers Y. Si x₀ est un point de X tel que p(x₀) = f(z₀), alors il existe au plus une application continue g de Z vers X vérifiant $p\circ g=fp\backslash circ\; g=f$ et g(z₀) = x₀. Si Z est simplement connexe, ce relèvement existe.

Le théorème s’emploie avec un véritable revêtement p : X → Y, une application continue f : Z → Y et un point initial z₀ dans Z. Il faut aussi choisir x₀ dans la fibre située au-dessus de f(z₀). Pour la formulation usuelle, Z est connexe et localement connexe par arcs. La simple connexité de Z garantit alors l’existence globale.

La simple connexité n’est pas indispensable : le critère général compare les classes de boucles transportées par f à celles que p peut relever en boucles. En revanche, si x₀ n’est pas au-dessus de f(z₀), l’égalité demandée échoue dès le départ. Il faut choisir un point de la bonne fibre. Si Z possède des boucles incompatibles avec le revêtement, on applique le critère par groupes fondamentaux au lieu d’invoquer la simple connexité.

On considère la projection p de la droite réelle sur le cercle unité, définie par $p(t)=e^{it}p(t)=e^\{it\}$. Le paramètre s parcourt l’intervalle [0, 1]. Le trajet f fait exactement un tour dans le sens trigonométrique, de f(0) = 1 à f(1) = 1. La valeur initiale choisie sur la droite est x₀ = 0.

1. On écrit le trajet circulaire : $f(s)=e^{2\pi is}f(s)=e^\{2\backslash pi\; i\; s\}$.

2. On cherche une fonction réelle g telle que p(g(s)) = f(s) et g(0) = 0.

3. Le choix $g(s)=2\pi sg(s)=2\backslash pi\; s$ convient, car $e^{ig(s)}=e^{2\pi is}e^\{i\; g(s)\}=e^\{2\backslash pi\; i\; s\}$.

4. Le contrôle aux points remarquables donne g(0) = 0, g(1/2) = π et g(1) = 2π. Le relèvement est unique avec cette valeur initiale. Le trajet revient au point 1 du cercle, mais son relèvement finit à 2π et non à 0 : il enregistre le tour accompli.

Pour suivre l’argument d’un nombre complexe non nul le long d’un chemin, on relève le trajet du cercle vers la droite. Une détermination continue est préférable à l’argument principal lorsque le chemin franchit sa coupure et que l’on veut éviter un saut artificiel.

Pour compter les tours d’une boucle sur le cercle unité, on compare les extrémités de son relèvement sur la droite. Si elles diffèrent de 2π multiplié par un entier, cet entier donne le nombre de tours orienté. Une simple observation du point final sur le cercle ne conserve pas cette information.

Pour construire une application dans un espace couvert, on peut d’abord travailler dans l’espace de base puis chercher son relèvement. Si le domaine n’est pas simplement connexe, le critère portant sur les boucles remplace la garantie automatique d’existence.

Argument continu et argument principal. L’argument principal choisit une valeur dans un intervalle fixé et présente une coupure. Un argument continu suit le chemin sans saut, quitte à atteindre 2π après un tour. Le trajet de l’exemple distingue les deux.

Relèvement d’une application et relèvement d’une homotopie. Le premier cherche une application g au-dessus d’une application f donnée. Le second part d’une homotopie et d’un relèvement initial de sa tranche de départ, puis relève toute la déformation. C’est la nature de ces données, et non le nombre de paramètres visibles, qui détermine l’énoncé à employer.

Un chemin fermé ne se relève pas forcément en boucle. Dans l’exemple, f(0) = f(1) = 1, tandis que g(0) = 0 et g(1) = 2π. Il faut examiner les deux extrémités du relèvement, pas seulement celles du chemin projeté.

Simplement connexe n’est pas synonyme de nécessaire. Une application issue d’un domaine comportant des boucles peut tout de même se relever si l’image de ses boucles respecte le sous-groupe associé au revêtement. Il faut alors utiliser le critère général.

Le point initial fait partie des données. Pour p(t) = e^it, les valeurs 0 et 2π sont deux antécédents de 1. Elles produisent deux relèvements distincts du même trajet. L’unicité ne vaut qu’après fixation de l’antécédent initial.

Les hypothèses locales ne sont pas décoratives. Dans des espaces pathologiques qui ne sont pas localement connexes par arcs, la formulation usuelle et sa preuve par prolongement de chemins ne s’appliquent pas directement. Il faut vérifier une version adaptée plutôt que citer l’énoncé standard.

La notion d’espace simplement connexe précise pourquoi l’absence de boucle essentielle élimine l’obstruction au relèvement.

La connexité par arcs éclaire le rôle des chemins qui propagent un choix initial dans tout le domaine.

L’homotopie prolonge cette idée aux déformations continues et conduit au théorème de relèvement des homotopies.