AnalyseNotion · Glossaire
fibration
En théorie de l'homotopie, une fibration est une application continue f : E → B ayant la propriété de relèvement des homotopies : pour tout espace X, toute homotopie dans B et tout relèvement dans E de son état initial, il existe une homotopie relevée dans E qui part de ce relèvement et se projette sur l'homotopie donnée. Elle permet ainsi de suivre continûment, dans l'espace total E, une déformation effectuée dans la base B, notamment pour étudier les groupes d'homotopie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la propriété de relèvement des homotopies.
- Vérifier explicitement le relèvement pour la projection d'un cylindre sur son cercle de base.
- Séparer fibration, homotopie, fibré localement trivial et revêtement.
- Repérer les pièges d'unicité, de surjectivité et de simple relèvement des chemins.
En clair
Imaginez un cylindre projeté sur son cercle de base. Au-dessus de chaque point du cercle se trouve un segment vertical, appelé fibre. Si un point ou une figure se déforme continûment sur le cercle, on peut accompagner cette déformation dans le cylindre, en partant d'une position déjà choisie.
Une fibration formalise précisément cette possibilité de relèvement. Elle ne demande pas que l'espace total soit partout un simple produit visible ; elle exige que toute homotopie de la base puisse être suivie continûment dans l'espace situé au-dessus.
Définition
Soient un espace total E, un espace de base B et une application continue p de E vers B. On appelle p une fibration lorsqu'elle possède la propriété de relèvement des homotopies. Pour tout espace topologique X, on considère une homotopie H de X × [0,1] vers B et une application initiale g de X vers E. L'application g doit relever le début de H, c'est-à-dire que p composée avec g coïncide avec H au temps 0.
Il doit alors exister une application continue G de X × [0,1] vers E qui commence en g et relève toute l'homotopie :
Cette condition garantit l'existence d'un relèvement, mais pas son unicité. Pour un point b de la base, la fibre au-dessus de b est l'ensemble p−1(b).
La projection d'un produit E = B × F sur B est le modèle trivial : la seconde coordonnée reste dans l'espace F pendant que la première suit la déformation dans B. Une fibration généralise ce mécanisme sans exiger qu'un unique produit cartésien décrive tout l'espace total. Cette structure sert notamment à relier les groupes d'homotopie de l'espace total, de la base et de la fibre, ainsi qu'à organiser des calculs par suites spectrales.
Un exemple, pas à pas
Prenons le cylindre E = S1 × [0,1], le cercle de base B = S1 et la projection p qui oublie la hauteur. Les données sont un espace X, une déformation H de X dans le cercle et un relèvement initial g(x) = (H(x,0), 1/2), placé à mi-hauteur.
1. On conserve pour chaque point x la position H(x,t) atteinte sur le cercle au temps t.
2. On garde la hauteur constante, égale à 1/2, et l'on pose le relèvement G(x,t) = (H(x,t), 1/2).
3. Au temps 0, on obtient bien G(x,0) = g(x). En projetant G sur le cercle, la hauteur disparaît et il reste H(x,t). Ainsi, p ∘ G = H.
Le contrôle est direct : le premier composant du couple est toujours H(x,t), tandis que le second reste dans l'intervalle [0,1]. La déformation est donc relevée dans tout le cylindre sans modifier son trajet sur la base.
En pratique
Pour vérifier un exemple simple, on cherche d'abord si toute déformation de la base peut être accompagnée continûment dans l'espace total à partir d'un relèvement initial. Dans un produit B × F, conserver la coordonnée dans F fournit immédiatement ce relèvement.
Pour étudier des groupes d'homotopie, la fibration sépare le problème en trois objets liés : l'espace total, la base et une fibre. Si la propriété de relèvement n'est pas établie, il faut étudier l'application continue sans lui appliquer les outils réservés aux fibrations.
Dans des calculs plus avancés, une suite spectrale organise des informations associées à cette structure. Ce choix devient pertinent lorsque la décomposition par base et fibre est connue ; pour une projection de produit élémentaire, le relèvement explicite est souvent plus lisible.
À ne pas confondre
Une homotopie est une famille continue d'applications, paramétrée par un intervalle. Une fibration est une application continue qui permet de relever toutes ces familles lorsqu'un relèvement initial est donné. Dans l'exemple du cylindre, H est la déformation sur le cercle, tandis que p est la fibration.
Un fibré localement trivial est décrit, dans chaque voisinage de la base, comme un produit avec une fibre. La définition d'une fibration repose plutôt sur le relèvement des homotopies et n'exige pas de telles cartes locales. La projection du cylindre possède les deux propriétés, mais les critères à vérifier sont différents.
Un revêtement présente localement des feuillets discrets et impose un relèvement unique des chemins une fois le point de départ fixé. Une fibration générale peut avoir une fibre continue, comme le segment du cylindre, et sa propriété de relèvement n'affirme pas l'unicité.
Limites et pièges
Existence ne signifie pas unicité. La propriété fournit au moins un relèvement G compatible avec g. Pour conclure qu'un relèvement est unique, il faut une hypothèse supplémentaire ; elle n'appartient pas à la définition générale d'une fibration.
Relever seulement des chemins ne suffit pas à lire la définition. Un chemin correspond au cas où X est réduit à un point. La propriété annoncée porte sur toute homotopie H définie sur X × [0,1], pour tout espace X.
Une projection ressemblant à un produit n'est pas automatiquement une fibration. Le symptôme décisif n'est pas le dessin des fibres, mais l'existence de relèvements continus compatibles avec chaque donnée initiale. Il faut vérifier cette propriété plutôt que se fier à l'apparence.
La surjectivité n'est pas énoncée par la propriété seule. Au-dessus d'un point de B qui n'a aucun antécédent, aucune donnée initiale g ne peut être choisie. Si l'application étudiée doit couvrir toute la base, la surjectivité doit donc être imposée ou vérifiée séparément.
Pour aller plus loin
Homotopie — Cette notion précise ce qui se déforme continûment dans la base avant d'étudier son relèvement dans l'espace total.
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