Rétraction

Imaginez un carré que l'on aplatit verticalement jusqu'à son segment horizontal central. Chaque point se déplace verticalement vers le segment médian : ceux situés au-dessus descendent et ceux situés au-dessous remontent, tandis que les points déjà sur le segment ne bougent pas.

Cette opération est une rétraction si elle se fait continûment et si tout le carré arrive sur le segment. Le carré est l'espace de départ, le segment est le sous-espace visé. Une rétraction conserve donc le sous-espace choisi et simplifie le reste sans créer de saut.

Soit X un espace topologique et A un sous-espace de X. Une rétraction de X sur A est une application continue r : X → A qui vérifie la condition de fixation suivante pour chaque point a de A : $r(a)=ar(a)=a$. L'application réduit ainsi X à A, mais son action est imposée sur A : elle ne peut déplacer aucun de ses points.

Si une telle application existe, A est appelé un rétract de X. La continuité signifie que des points proches dans X ont des images proches dans A ; elle exclut un rabattement comportant des ruptures. Une déformation rétraction ajoute une homotopie à l'identité de X : la rétraction peut être obtenue par une déformation continue de l'espace, en gardant A fixe pendant cette déformation.

La notion s'applique à des espaces topologiques et à leurs sous-espaces, sans supposer une distance ou une forme géométrique particulière. En topologie algébrique, elle permet de comparer les propriétés homotopiques de X et de A, car une déformation rétraction conserve le type d'information décrit par l'homotopie.

Considérons le carré X = [−1, 1] × [−1, 1] et son segment médian A = [−1, 1] × {0}. Le point de départ est noté (x, y), avec −1 ≤ x ≤ 1 et −1 ≤ y ≤ 1.

La rétraction qui rabat verticalement le carré sur A est donnée par $r(x,y)=(x,0)r(x,y)=(x,0)$.
1. La première coordonnée reste x, et la seconde devient 0.
2. Le résultat appartient donc à A.
3. Si le point était déjà dans A, il avait y = 0 et $r(x,0)=(x,0)r(x,0)=(x,0)$ : il reste fixe.
4. Les coordonnées de r varient continûment avec celles de (x, y).

La déformation correspondante est donnée par $H((x,y),t)=(x,(1-t)y)H((x,y),t)=(x,(1-t)y)$, pour 0 ≤ t ≤ 1. À t = 0, H est l'identité ; à t = 1, H est r ; pour tout t, un point de A reste (x, 0). La figure rend visible ce déplacement vertical sans modifier le segment cible.

Pour tester une rétraction dans un exemple concret, on repère d'abord le sous-espace que l'on veut conserver. On vérifie ensuite que chaque point de l'espace de départ reçoit une image dans ce sous-espace et que les points déjà présents y restent inchangés.

La continuité se contrôle selon la topologie choisie. Dans un carré euclidien, une formule coordonnée comme r(x, y) = (x, 0) est directement continue. Dans un espace plus général, il faut utiliser les ouverts ou une caractérisation équivalente de la continuité.

Pour étudier une déformation rétraction, on cherche en plus une famille continue H reliant l'identité à r. Le critère observable est alors double : la famille commence par l'espace intact et finit par le sous-espace, tandis que ce sous-espace reste fixe pendant tout le mouvement.

Une projection au sens géométrique n'est pas automatiquement une rétraction topologique. Pour trancher, il faut vérifier que son image est bien A, que l'application est continue et que chaque point de A est fixé. Une projection orthogonale sur une droite fournit un exemple de rétraction, mais cette propriété vient de ces vérifications, non du seul mot projection.

Une homotopie entre deux applications ne suffit pas non plus à constituer une déformation rétraction. Dans le cas d'une déformation rétraction, l'une des applications est l'identité de X et l'autre est i∘r:X→X, où r:X→A est une rétraction et i:A→X l'inclusion ; l'homotopie doit être relative à A, c'est-à-dire que les points de A restent fixes pendant toute l'homotopie.

Le disque fermé ne se rétracte pas sur son bord par une application continue qui fixe tout le bord. Une intuition radiale propose r(x) = x/‖x‖, mais cette expression n'est pas définie au centre. Ce n'est pas un simple défaut de formule : le théorème de Brouwer exclut l'existence d'une telle rétraction. Il faut donc distinguer une construction valable hors du centre d'une rétraction définie sur tout l'espace.

La fixation des points de A ne garantit pas à elle seule la continuité. Une application peut envoyer X sur A et laisser A inchangé tout en présentant une rupture ailleurs. Le bon réflexe consiste à contrôler séparément l'image, la fixation et la continuité.

Enfin, dire qu'une rétraction est homotope à l'identité ne dispense pas de préciser le comportement sur A. La déformation rétraction usuelle garde A fixe à chaque instant ; une homotopie générale entre deux applications peut déplacer les points de A.

Une déformation rétraction permet de remplacer un espace par un sous-espace plus simple sans perdre son type d'homotopie. Le segment médian du carré en donne une première image ; dans des espaces plus riches, ce procédé sert à comparer les groupes d'homotopie et d'autres invariants homotopiques, lorsque les hypothèses nécessaires sont réunies.