GéométrieNotion · Glossaire
Lacet
En topologie, un lacet est un chemin continu défini sur l'intervalle [0,1] à valeurs dans un espace topologique, dont les extrémités coïncident, c'est-à-dire que le point de départ et le point d'arrivée sont identiques. Les lacets en un point base forment un groupe pour la loi de concaténation, à condition de considérer des classes d'homotopie : c'est le groupe fondamental de l'espace. L'étude des lacets et de leurs classes d'homotopie est au cœur de la topologie algébrique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un lacet basé et distinguer son paramétrage de sa trace.
- Suivre un tour du cercle unité et contrôler qu’il reste sur ce cercle.
- Relier concaténation, classes d’homotopie et groupe fondamental.
- Éviter les erreurs liées au point de base et à l’associativité des chemins.
En clair
Imaginez un trajet qui part d’un repère, fait un tour et revient exactement à ce repère. Le trajet peut se courber, se croiser ou même rester immobile. En topologie, ce parcours fermé s’appelle un lacet. On s’intéresse moins à sa forme dessinée qu’à la possibilité de le déformer continûment, sans le couper ni le faire sortir de l’espace. Un trou peut alors empêcher le lacet de se resserrer jusqu’à un point.
Définition
Soit un espace topologique nommé X et un point choisi x0 dans cet espace. Un lacet basé en x0 est une application continue γ de l’intervalle [0,1] vers X, telle que γ(0) = γ(1) = x0. Le paramètre décrit l’ordre du parcours, tandis que l’image de γ en donne la trace. Deux paramétrages différents peuvent donc parcourir la même trace.
Pour deux lacets α et β basés en x0, leur concaténation parcourt d’abord α, puis β. Avec la convention qui partage l’intervalle en deux moitiés, elle s’écrit :
Cette opération dépend du paramétrage au niveau des chemins.
On regroupe alors les lacets qui se déforment continûment l’un en l’autre tout en gardant le point de base fixe. Leurs classes d’homotopie forment le groupe fondamental de X en x0. La classe du lacet constant est l’élément neutre. Le parcours en sens inverse fournit l’inverse. L’associativité devient exacte sur les classes, même si les chemins concaténés n’ont pas toujours le même paramétrage.
Un exemple, pas à pas
Prenons le cercle unité, noté S1, et le point de base x0 = (1, 0). Le lacet γ fait exactement un tour dans le sens trigonométrique.
Données : le paramètre t appartient à [0,1] ; l’espace est S1 ; le point de base est (1, 0). Le parcours est défini par :
1. À t = 0, le point obtenu est (1, 0).
2. À t = 1/4, il est (0, 1).
3. À t = 1/2, il est (−1, 0).
4. À t = 3/4, il est (0, −1).
5. À t = 1, il revient à (1, 0).
2. À t = 1/4, il est (0, 1).
3. À t = 1/2, il est (−1, 0).
4. À t = 3/4, il est (0, −1).
5. À t = 1, il revient à (1, 0).
Les deux extrémités coïncident donc avec x0 : γ est bien un lacet. Le contrôle consiste à vérifier que chaque point satisfait x² + y² = 1, donc reste sur le cercle pendant tout le parcours.
Ce lacet entoure le centre une fois. Dans le cercle, il ne peut pas être déformé en lacet constant sans quitter S1 ; cette obstruction est précisément le type d’information conservé par le groupe fondamental.
En pratique
Pour sonder un trou, on trace un lacet autour de la zone suspecte et l’on cherche à le resserrer continûment jusqu’au point de base. Si ce resserrement est impossible dans l’espace, la classe du lacet n’est pas celle du lacet constant.
Pour combiner deux parcours fermés ayant le même point de base, on emploie leur concaténation. Si les points de base diffèrent, il faut d’abord choisir un chemin qui les relie ; sans ce choix, la même concaténation basée n’est pas définie.
Pour comparer deux espaces munis de points de base correspondants, on étudie leurs groupes fondamentaux. Des groupes non isomorphes prouvent qu’il n’existe pas d’homéomorphisme envoyant un point de base sur l’autre. Des groupes isomorphes ne suffisent toutefois pas, à eux seuls, à conclure qu’un tel homéomorphisme existe.
À ne pas confondre
Lacet et courbe fermée simple. Une courbe fermée simple ne se recoupe pas, sauf au point où elle se ferme. Un lacet peut au contraire se croiser plusieurs fois, revenir sur ses pas ou rester constant.
Homotopie et homéomorphisme. Une homotopie déforme continûment un chemin dans un espace fixé. Un homéomorphisme est une correspondance continue et réversible entre deux espaces. Déformer un lacet n’établit donc pas un homéomorphisme entre espaces.
Trace et lacet paramétré. Deux lacets peuvent dessiner le même cercle tout en le parcourant à des vitesses, dans des sens ou un nombre de tours différents. La trace seule ne détermine donc pas le lacet.
Limites et pièges
Fermeture insuffisante. Un chemin dont les extrémités sont seulement proches n’est pas un lacet. Il faut vérifier l’égalité γ(0) = γ(1), et non une proximité graphique ou numérique.
Point de base mobile. Dans le groupe fondamental, une homotopie de lacets doit conserver x0 pendant toute la déformation. Autoriser ce point à se déplacer conduit à une homotopie libre, qui ne classe pas les lacets basés de la même manière.
Groupe obtenu trop tôt. Les lacets paramétrés ne forment pas directement un groupe : la concaténation n’est associative qu’à reparamétrage près, et un lacet suivi de son inverse n’est pas littéralement constant. Le passage aux classes d’homotopie corrige ces deux défauts.
Espace non connexe. Un lacet basé en x0 reste dans la composante connexe par arcs qui contient x0. Changer de composante ne se fait donc pas par un tel lacet ; le groupe fondamental décrit la composante choisie, avec son point de base.
Pour aller plus loin
La fiche Homotopie précise comment formaliser une déformation continue et reconnaître les chemins placés dans une même classe.
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