Simplement connexe

Imaginez un élastique posé en boucle sur un disque. Sans le couper ni quitter le disque, on peut le faire glisser et le resserrer jusqu’à un point. Si le disque est percé en son centre et que l’élastique entoure ce trou, ce resserrement devient impossible.

Un espace est simplement connexe lorsque tous ses points peuvent être reliés par des chemins et que chaque boucle s’y resserre ainsi. L’idée du « sans trou » est utile, à condition de la comprendre comme une propriété de toutes les boucles, et non comme un simple aspect visuel.

La simple connexité est une propriété d’un espace topologique. Elle réunit deux conditions. D’abord, l’espace est connexe par arcs : deux points quelconques peuvent être joints par un chemin continu restant dans l’espace. Ensuite, tout lacet, c’est-à-dire tout chemin continu fermé, est homotope à un lacet constant. Une homotopie est une déformation continue qui ne fait jamais sortir le lacet de l’espace.

Après le choix d’un point de base, les classes de lacets forment le groupe fondamental, noté ${\pi }_1(X,x_0)\backslash pi\_1(X,x\_0)$ pour l’espace X et le point de base x₀. Dans un espace connexe par arcs, dire que ce groupe est trivial signifie qu’il ne contient que la classe du lacet constant. C’est la formulation algébrique de la simple connexité.

La sphère S² et l’espace euclidien Rⁿ, pour n ≥ 2, satisfont ces conditions. Un anneau et un tore ne les satisfont pas : certains lacets entourant un trou ne peuvent pas être contractés dans l’espace.

Considérons le disque fermé de centre O et de rayon 1 dans le plan. Le lacet γ parcourt son cercle bord une fois : le paramètre t varie de 0 à 1 et $\gamma (t)=(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))\backslash gamma(t)=(\backslash cos(2\backslash pi\; t),\backslash sin(2\backslash pi\; t))$. Les données sont donc le disque, son centre O, le rayon 1 et ce lacet fermé.

1. On introduit un second paramètre s, compris entre 0 et 1.
2. Pour chaque valeur de s, on réduit toutes les distances au centre dans le rapport 1 − s.
3. La déformation obtenue est $H(t,s)=((1-s)\cos (2\pi t),(1-s)\sin (2\pi t))H(t,s)=((1-s)\backslash cos(2\backslash pi\; t),(1-s)\backslash sin(2\backslash pi\; t))$.
4. À s = 0, on retrouve γ ; à s = 1, tous les points sont en O.

Pour tout s, la distance à O vaut 1 − s, donc reste comprise entre 0 et 1. La déformation demeure dans le disque : γ y est bien contractile. La figure met en regard cette contraction et son obstruction lorsque le centre est retiré.

Le contrôle est direct : les formules donnent H(t, 0) = γ(t) et H(t, 1) = O pour tout t. Dans un anneau qui exclut le centre, la même formule finit par atteindre un point absent de l’espace ; elle ne fournit donc pas une contraction autorisée.

Pour tester un domaine du plan, on cherche d’abord s’il est connexe par arcs, puis on examine les lacets susceptibles d’entourer une zone retirée. Si un tel lacet ne peut pas se resserrer sans sortir du domaine, il faut étudier son groupe fondamental plutôt que conclure à la simple connexité.

Pour un champ de vecteurs continûment dérivable sur un ouvert simplement connexe du plan, une rotation nulle permet de rechercher un potentiel scalaire. Sur un domaine troué, la rotation locale ne suffit pas toujours ; on contrôle alors les intégrales le long des lacets ou l’indépendance du chemin.

En analyse complexe, la géométrie du domaine guide aussi le choix des outils. Sur un domaine simplement connexe, les déformations de lacets peuvent ramener une question globale à une situation locale ; sur un domaine troué, il faut conserver l’information portée par les contours qui entourent les trous.

Connexe par arcs. Cette propriété exige seulement qu’un chemin relie toute paire de points. L’anneau est connexe par arcs, mais le lacet qui entoure son trou ne se contracte pas ; il n’est donc pas simplement connexe.

Contractile. Un espace contractile peut être déformé tout entier en un point, tandis que la simple connexité ne demande cette contraction que pour chaque lacet. La sphère S² est simplement connexe, mais elle n’est pas elle-même contractile.

Connexe. La connexité interdit une séparation de l’espace en deux parties ouvertes disjointes non vides. Elle n’assure ni l’existence de chemins entre tous les points ni la contraction des lacets ; les deux critères doivent être vérifiés séparément.

L’expression « sans trou » n’est qu’une intuition. Un dessin plein ne prouve rien à lui seul : il faut préciser l’espace topologique et vérifier la contractilité de tous ses lacets.

Retirer un seul point peut changer la réponse. Le plan R² est simplement connexe, mais le plan privé de l’origine contient le lacet γ de l’exemple, qui ne peut plus être ramené à l’origine ni contracté dans cet espace.

La trivialité du groupe fondamental ne remplace pas silencieusement la condition de connexité par arcs. Si l’espace comporte plusieurs composantes, un groupe fondamental calculé depuis un seul point de base ne décrit que la composante de ce point.

Pour les champs de vecteurs, l’hypothèse irrotationnelle doit être accompagnée du domaine et d’une régularité suffisante. Sans simple connexité, une rotation nulle localement ne garantit pas à elle seule l’existence d’un potentiel global.

La connexité par arcs détaille la première condition de la définition : relier deux points par un chemin continu contenu dans l’espace.

L’homotopie formalise les déformations continues utilisées pour comparer les lacets et reconnaître ceux qui peuvent être réduits à un point.

La notion de lacet précise l’objet fermé dont les classes d’homotopie composent le groupe fondamental.

Un champ de vecteurs donne le cadre de l’application au potentiel scalaire évoquée dans la fiche.