Homotopie

Imaginez deux chemins tracés entre les mêmes points sur une feuille souple. Si l'on peut faire glisser progressivement le premier jusqu'au second, sans saut ni déchirure, ce mouvement continu donne l'intuition d'une homotopie.

Le paramètre du mouvement joue le rôle d'un curseur allant de 0 à 1. À 0, on voit la première application ; à 1, la seconde. Entre les deux, chaque position doit encore décrire une application continue.

Soient deux espaces topologiques, notés X et Y, et deux applications continues de X vers Y, notées f et g. Une homotopie de f à g est une application continue H définie sur le produit de X par l'intervalle [0, 1], à valeurs dans Y. Le réel t de [0, 1] représente l'étape de la déformation.

Les conditions aux extrémités sont $H(x,0)=f(x)H(x,0)=f(x)$ et $H(x,1)=g(x)H(x,1)=g(x)$ pour tout point x de X. Pour chaque valeur fixée de t, l'application qui associe H(x, t) à x est donc une étape continue entre f et g. L'existence d'une telle H signifie que f et g sont homotopes.

Être homotopes est une relation d'équivalence : toute application est homotope à elle-même, une homotopie peut être parcourue en sens inverse et deux homotopies successives peuvent être raccordées. Pour des lacets issus d'un même point base, on impose en outre que ce point reste fixé pendant la déformation. Le groupe fondamental rassemble ces classes d'homotopie de lacets basés.

On compare deux chemins dans le plan entre les points (0, 0) et (1, 0). Données : le paramètre du chemin est s dans [0, 1] ; le premier chemin est f(s) = (s, 0) ; le second est g(s) = (s, s(1 − s)) ; le paramètre de déformation est t dans [0, 1].

1. On propose la déformation $H(s,t)=(s,ts(1-s))H(s,t)=(s,ts(1-s))$. Ses coordonnées sont polynomiales en s et t, donc H est continue.

2. À t = 0, on obtient H(s, 0) = (s, 0), soit exactement f(s). À t = 1, on obtient H(s, 1) = (s, s(1 − s)), soit g(s).

3. Aux extrémités du chemin, H(0, t) = (0, 0) et H(1, t) = (1, 0) pour tout t. Elles restent donc fixes pendant toute la déformation.

Le contrôle se refait au milieu : pour s = 1/2, la hauteur vaut t/4. Elle passe continûment de 0 à 1/4 lorsque t va de 0 à 1. Les trois tracés illustrent cette montée sans saut.

Pour comparer deux chemins, on cherche une formule de déformation dont les étapes restent dans l'espace étudié. Si une étape doit traverser un trou exclu de cet espace, cette formule ne prouve pas l'homotopie ; il faut chercher une autre déformation ou montrer qu'un invariant l'interdit.

Pour étudier un espace, on choisit un point base et l'on considère les lacets qui y commencent et y finissent. On regroupe les lacets déformables l'un en l'autre en gardant ce point fixe. Leur composition fournit le groupe fondamental, utile pour détecter certains trous.

Pour simplifier un calcul topologique, on peut remplacer un espace par un espace homotopiquement équivalent lorsque seules les propriétés invariantes par homotopie comptent. Une égalité géométrique ou une conservation de distances exige toutefois un outil plus strict.

Homéomorphisme. Un homéomorphisme est une bijection continue dont l'inverse est continu ; il identifie deux espaces point par point. Une équivalence d'homotopie demande seulement des applications composées homotopes aux identités. Des espaces peuvent donc avoir le même type d'homotopie sans être homéomorphes.

Isotopie. Une isotopie est une homotopie dont chaque étape conserve une propriété imposée, souvent celle d'être un plongement ou un homéomorphisme. Si une étape crée une auto-intersection, elle peut rester une homotopie d'applications tout en cessant d'être une isotopie de plongements.

La déformation doit rester dans l'espace d'arrivée. Une animation qui traverse un point retiré ou sort de Y n'est pas une homotopie vers Y. Le symptôme est une valeur H(x, t) interdite ; il faut modifier la déformation ou conclure qu'elle échoue.

Les extrémités ne sont pas automatiquement fixes. La définition générale impose seulement les étapes t = 0 et t = 1. Pour comparer des chemins à extrémités fixées ou des lacets basés, il faut ajouter explicitement cette contrainte pendant toute l'homotopie.

Une ressemblance visuelle ne suffit pas. Chaque point de X et chaque instant t doivent participer à une même application H continue. Une suite d'images sans règle continue peut masquer un saut et ne constitue pas une preuve.

Le point base compte. Le groupe fondamental utilise des lacets basés et des homotopies qui gardent ce point fixe. Oublier cette convention peut changer l'identification précise des classes, notamment quand on compare des choix de points bases.

Le lacet est le chemin fermé dont les classes d'homotopie basées constituent le groupe fondamental.

L'homologie en topologie algébrique présente une autre famille d'invariants, construite à partir de cycles et de bords plutôt que de classes de lacets.