AlgèbreNotion · Glossaire
homologie - topologie algébrique -
Dans un complexe de chaînes de groupes abéliens, les opérateurs de bord se composent en zéro : tout bord est donc un cycle. Le groupe d’homologie de degré i est le quotient du noyau de l’opérateur de bord en degré i par l’image de celui du degré i + 1 ; il mesure les cycles qui ne sont pas des bords et fournit un invariant topologique ou algébrique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une chaîne, un cycle et un bord.
- Lire la formule du groupe d’homologie comme un quotient.
- Recalculer l’homologie de degré 1 d’un triangle plein.
- Repérer les hypothèses et conventions qui conditionnent le résultat.
En clair
Imaginez un triangle avec sa surface. Son contour forme une boucle fermée, mais cette boucle borde précisément la face du triangle. L’homologie organise cette distinction : elle repère les chaînes fermées, appelées cycles, puis écarte celles qui sont déjà le bord d’une chaîne de dimension supérieure.
Ce qui reste signale un cycle non comblé dans le complexe étudié. L’homologie transforme ainsi une question de forme en un calcul dans des groupes.
Définition
Un complexe de chaînes de groupes abéliens est une suite de groupes abéliens. Le groupe placé au degré entier i est noté Mi. Ses éléments sont les chaînes de degré i. Un homomorphisme appelé opérateur de bord, noté δi, envoie Mi dans Mi−1.
Deux opérateurs de bord successifs doivent avoir une composée nulle : . Une chaîne de degré i annulée par δi est un cycle. Une chaîne obtenue comme image par δi+1 est un bord. La condition précédente garantit que tout bord est un cycle, autrement dit que l’image de δi+1 est incluse dans le noyau de δi.
Le groupe d’homologie au degré i, noté Hi, est le quotient du groupe des cycles par le sous-groupe des bords : . Il distingue donc les classes de cycles qui ne sont pas déjà des bords. Cette construction s’emploie en topologie algébrique comme en algèbre homologique et fournit des invariants topologiques ou algébriques.
Un exemple, pas à pas
Considérons un triangle plein orienté, avec trois sommets v0, v1, v2, trois arêtes orientées e01, e12, e20 et une face f. Les chaînes de dimension 2 sont les multiples entiers de f. Les chaînes de dimension 1 sont les combinaisons entières des trois arêtes. La figure matérialise la face jaune et son contour orienté rouge.
1. Le bord de la face est la somme orientée des trois arêtes : .
2. Appelons c cette somme d’arêtes. En appliquant δ1, chaque sommet apparaît une fois avec le signe plus et une fois avec le signe moins. Ainsi, δ1(c) = 0 : le contour c est un cycle.
3. Mais c est aussi δ2(f). Il appartient donc à l’image de δ2 : c est un bord.
4. Tout cycle de dimension 1 de ce complexe est un multiple entier de c, donc tout cycle est un bord. Le quotient donne H1 = 0. Le contrôle consiste à recomposer δ1(δ2(f)) : les contributions aux trois sommets s’annulent bien.
En pratique
Pour calculer une homologie, on commence par choisir les groupes de chaînes et les opérateurs de bord adaptés à l’objet. On détermine ensuite les noyaux et les images, degré par degré. Si les opérateurs successifs ne donnent pas zéro, les données ne forment pas un complexe de chaînes et le quotient d’homologie n’est pas défini.
Sur le triangle plein, le contour rouge est fermé, mais la face jaune montre qu’il est déjà un bord. Si l’on enlève la face tout en gardant les trois arêtes, le même contour reste un cycle et aucune chaîne de dimension 2 ne peut plus le produire comme bord.
Le choix des coefficients fait partie du calcul. On emploie souvent les entiers pour conserver les informations de signe et de torsion. D’autres groupes de coefficients peuvent simplifier les opérations, mais ils peuvent aussi modifier les groupes d’homologie obtenus.
À ne pas confondre
Cycle et bord. Un cycle est une chaîne dont le bord est nul. Un bord est l’image d’une chaîne du degré supérieur. Le critère décisif est donc l’existence d’un antécédent par l’opérateur de bord : dans le triangle plein, le contour est à la fois un cycle et le bord de la face.
Homologie et homotopie. L’homologie produit des groupes à partir d’un complexe de chaînes. L’homotopie compare des applications ou des espaces au moyen de déformations continues. Ces deux théories peuvent refléter la topologie d’un espace, mais elles ne posent pas le même test et leurs invariants ne sont pas interchangeables.
Homologie et cohomologie. L’homologie utilise des chaînes et des opérateurs qui abaissent le degré. La cohomologie travaille avec des cochaînes et des opérateurs qui l’augmentent. Le sens du changement de degré permet de reconnaître la construction employée.
Limites et pièges
Une composée non nulle bloque la définition. Si δi ∘ δi+1 n’est pas l’application nulle, un bord peut ne pas être un cycle. L’image n’est alors pas nécessairement contenue dans le noyau, si bien que le quotient annoncé pour Hi n’a pas de sens. Il faut corriger les opérateurs ou changer de construction.
Un groupe d’homologie nul ne signifie pas qu’il n’existe aucun cycle. Dans le triangle plein, le contour c est un cycle non nul comme chaîne, alors que sa classe dans H1 est nulle parce que c est le bord de f. Il faut distinguer la chaîne, son appartenance au noyau et sa classe dans le quotient.
Le résultat dépend du complexe et des coefficients. Deux complexes peuvent décrire une même situation tout en présentant des groupes de chaînes différents; une comparaison valable exige des applications compatibles avec les bords. Changer le groupe de coefficients peut également effacer ou révéler certaines classes. Il faut donc toujours annoncer ces données avec les groupes Hi.
Le degré zéro demande de surveiller la convention. L’homologie ordinaire et l’homologie réduite ne donnent pas exactement le même groupe au degré 0. Avant d’interpréter H0, il faut vérifier laquelle des deux conventions est utilisée; les degrés strictement positifs ne sont pas affectés par cette distinction.
Pour aller plus loin
L’étape suivante consiste à étudier comment une application compatible avec les opérateurs de bord agit sur les classes d’homologie. Cette compatibilité garantit qu’un cycle est envoyé sur un cycle et qu’un bord est envoyé sur un bord; l’application descend alors au quotient.
Les suites exactes relient ensuite plusieurs groupes d’homologie et organisent leurs noyaux et images. Elles permettent de transformer une construction globale en calculs liés entre eux, à condition de vérifier précisément les complexes, les degrés et les morphismes concernés.
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