AnalyseNotion · Glossaire
algèbre homologique
L'algèbre homologique est une branche de l'algèbre moderne, développée principalement au 20e siècle, qui étudie les structures algébriques à travers des suites exactes et des foncteurs dérivés. Étroitement liée à la théorie des modules, elle fournit des outils puissants pour mesurer des « défauts » d'exactitude dans des suites de morphismes. Ses méthodes ont des applications profondes en topologie algébrique, en géométrie algébrique et en théorie des représentations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la relation entre complexe, exactitude et groupe d'homologie.
- Recalculer l'homologie du complexe défini par la multiplication par 2 sur ℤ.
- Distinguer complexe, suite exacte, homologie, cohomologie et foncteur dérivé.
En clair
Imaginez des objets algébriques reliés par des transformations successives. À chaque étape, on compare ce qui arrive de l'étape précédente avec ce que la transformation suivante envoie sur zéro.
Quand ces deux ensembles coïncident, l'enchaînement est exact à cet endroit. Sinon, leur écart forme un groupe d'homologie. L'algèbre homologique transforme ainsi un défaut de raccordement en un objet algébrique que l'on peut étudier.
Définition
L'algèbre homologique étudie des complexes de modules, ou plus généralement des objets d'une catégorie abélienne. Un complexe est une suite d'objets reliés par des morphismes appelés différentielles. Deux différentielles consécutives ont une composée nulle. Ainsi, l'image d'une différentielle est toujours contenue dans le noyau de la suivante.
Pour un complexe dont les objets sont notés Cn et les différentielles dn, le groupe d'homologie de degré n est le quotient suivant : . Le numérateur rassemble les éléments envoyés sur zéro ; le dénominateur identifie ceux qui proviennent déjà du degré précédent. L'homologie est nulle au degré n exactement lorsque le complexe y est exact.
Les suites exactes organisent les relations entre noyaux, images et quotients. Les foncteurs dérivés, tels que Tor et Ext dans la théorie des modules, mesurent quant à eux le défaut d'exactitude de certains foncteurs. Ce langage relie notamment théorie des modules, topologie algébrique, géométrie algébrique et théorie des représentations.
Un exemple, pas à pas
Considérons un complexe de groupes abéliens concentré aux degrés 1 et 0. Les données sont deux copies du groupe ℤ, l'application d1 qui multiplie chaque entier par 2, et les groupes nuls de part et d'autre.
1. Écrivons le complexe :
La composée de deux flèches consécutives est nulle, puisque les flèches extérieures ont le groupe nul pour source ou pour cible.
2. Au degré 1, le noyau de la multiplication par 2 est réduit à 0. Comme rien n'arrive du degré 2, on obtient H1 = 0.
3. Au degré 0, la différentielle suivante est nulle : son noyau est ℤ. L'image précédente est le sous-groupe 2ℤ des entiers pairs. On obtient donc .
3. Au degré 0, la différentielle suivante est nulle : son noyau est ℤ. L'image précédente est le sous-groupe 2ℤ des entiers pairs. On obtient donc .
Le résultat garde une information binaire : deux entiers représentent la même classe lorsqu'ils ont la même parité. Pour contrôler le calcul, vérifiez que l'image 2ℤ est bien incluse dans ℤ et que le quotient possède exactement deux classes, celle des entiers pairs et celle des entiers impairs.
En pratique
En topologie algébrique, on remplace un espace par un complexe de chaînes. Lorsque deux espaces ont des groupes d'homologie différents, cette différence suffit à montrer qu'ils ne sont pas équivalents du point de vue topologique considéré.
En théorie des modules, une résolution remplace un module difficile par une suite de modules mieux maîtrisés. On applique ensuite un foncteur et l'on calcule Tor ou Ext lorsque le foncteur ordinaire ne conserve pas toute l'exactitude.
En géométrie algébrique et en théorie des représentations, les groupes de cohomologie organisent des obstructions et des possibilités de recollement. Un groupe nul indique l'absence du défaut mesuré ; un groupe non nul en conserve la structure.
À ne pas confondre
Complexe et suite exacte. Dans tout complexe, deux différentielles consécutives ont une composée nulle, donc chaque image est incluse dans le noyau suivant. Une suite est exacte seulement si ces deux sous-objets sont égaux à chaque place. Le complexe de l'exemple n'est pas exact au degré 0, car ℤ/2ℤ n'est pas nul.
Homologie et cohomologie. L'homologie provient habituellement d'un complexe dont les différentielles abaissent le degré. La cohomologie provient d'un complexe dont les différentielles l'élèvent. Le sens des flèches et la convention de degré permettent de trancher.
Foncteur dérivé et dérivée usuelle. Un foncteur dérivé mesure un défaut d'exactitude dans un cadre catégorique ; il ne calcule pas un taux de variation. La présence de résolutions, de constructions explicitement dérivées ou de symboles comme Tor et Ext indique le premier sens.
Limites et pièges
Une composée nulle ne suffit pas. La relation entre deux différentielles consécutives garantit seulement que l'image est incluse dans le noyau. Si l'inclusion est stricte, le groupe d'homologie correspondant est non nul ; il faut calculer le quotient plutôt que déclarer la suite exacte.
Un groupe d'homologie nul est une information locale. Il établit l'exactitude au degré concerné, pas nécessairement à tous les degrés. Dans l'exemple, H1 est nul tandis que H0 vaut ℤ/2ℤ.
Le cadre doit autoriser noyaux et quotients. Les formules élémentaires fonctionnent pour les modules et, plus généralement, dans une catégorie abélienne. Dans une catégorie arbitraire, ces objets peuvent manquer ; il faut alors préciser un cadre homologique adapté avant d'employer la même notation.
Les indices suivent des conventions. Un complexe de chaînes abaisse généralement le degré, tandis qu'un complexe de cochaînes l'élève. Avant tout calcul, il faut lire le sens des différentielles et la convention adoptée, sans déduire leur orientation du seul symbole d.
Pour aller plus loin
Exacte (suite) précise le critère image égale au noyau qui fait disparaître l'homologie à une place donnée.
La fiche cohomologie développe la version à degrés croissants et son rôle dans l'étude des obstructions.
La fiche foncteur explique le mécanisme qui transporte objets et morphismes avant le passage aux foncteurs dérivés.
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