catégorie

Imaginez plusieurs mondes mathématiques : des ensembles de nombres, des groupes ou des espaces. Dans chacun, des objets sont reliés par des transformations qui respectent une règle. Une catégorie rassemble ces objets et ces flèches, puis permet de suivre deux transformations l'une après l'autre.

Le point décisif est que deux chemins successifs donnent le même résultat, que l'on regroupe les étapes ou non. Chaque objet possède aussi une flèche identité, qui le laisse inchangé. Ce langage aide à comparer des domaines très différents sans effacer leur structure propre.

Une catégorie comprend des objets et, pour chaque paire d'objets, des morphismes, également appelés flèches, qui vont du premier vers le second. Deux morphismes composables peuvent être enchaînés : leur composition est un nouveau morphisme. Cette composition est associative : pour trois flèches successives, regrouper les deux premières ou les deux dernières ne change pas la flèche obtenue. Chaque objet possède en outre un morphisme identité, dont la composition avec toute flèche issue de cet objet ou y aboutissant laisse cette flèche inchangée.

La catégorie des ensembles prend les ensembles pour objets et les fonctions pour morphismes. D'autres choix donnent des catégories de groupes, de modules ou d'espaces topologiques, avec les applications qui respectent la structure considérée. Un foncteur est un morphisme entre catégories : il associe des objets et des flèches tout en préservant les identités et la composition. Une transformation naturelle établit ensuite une correspondance compatible entre deux foncteurs ayant la même catégorie source et la même catégorie cible.

La théorie des catégories fournit ainsi un cadre commun pour comparer des constructions, notamment en algèbre homologique, en géométrie algébrique et en logique mathématique. Elle décrit des relations et des compositions ; elle ne remplace pas les objets particuliers ni les propriétés supplémentaires de chaque domaine.

Considérons la catégorie des ensembles avec trois objets : l'ensemble A = {1, 2}, l'ensemble B = {a, b, c} et l'ensemble C = {x, y}. Les données sont les fonctions f : A → B définies par f(1) = a et f(2) = c, puis g : B → C définies par g(a) = x, g(b) = y et g(c) = y.

Première étape : les fonctions f et g sont deux morphismes que l'on peut composer, car l'arrivée de f est le départ de g.
Deuxième étape : la composition h = g ∘ f va directement de A vers C.
Troisième étape : h(1) = g(f(1)) = g(a) = x et h(2) = g(f(2)) = g(c) = y.
Quatrième étape : la flèche identité de A envoie 1 sur 1 et 2 sur 2 ; composer f avec elle redonne donc f.

Le résultat est la fonction h : A → C telle que h(1) = x et h(2) = y. Le contrôle est refaisable élément par élément : chaque valeur de h s'obtient en appliquant f, puis g. La composition écrite (g ∘ f)(1) = g(f(1)) confirme le sens du trajet.

En algèbre, on peut considérer les groupes comme des objets et les homomorphismes comme des flèches. Le geste consiste à composer les homomorphismes compatibles, afin de suivre une construction sans détailler séparément chaque calcul interne.

En topologie, les espaces topologiques jouent le rôle des objets et les applications continues celui des flèches. Cette catégorie est préférable à celle des ensembles lorsque la continuité, et non la seule correspondance entre éléments, est le critère à préserver.

Pour comparer deux méthodes qui transforment les mêmes objets, on utilise des foncteurs. Le critère observable est leur compatibilité avec les identités et les compositions ; une simple association d'objets ne suffit pas.

Une catégorie n'est pas un ensemble. Un ensemble est une collection d'éléments, tandis qu'une catégorie comporte des objets et des flèches entre eux. Le cas des ensembles reliés par des fonctions tranche : les ensembles sont les objets, les fonctions sont les morphismes de la catégorie des ensembles.

Un foncteur n'est pas une flèche ordinaire d'une catégorie. Une flèche relie deux objets dans une catégorie ; un foncteur relie deux catégories et doit préserver les morphismes identités ainsi que la composition. La différence se vérifie dès que l'on compose deux flèches : le foncteur doit envoyer leur composition sur la composition de leurs images.

Une catégorie ne contient pas nécessairement une seule flèche entre deux objets. Plusieurs morphismes peuvent avoir le même départ et la même arrivée ; ils restent distincts si la structure les distingue. Il faut donc vérifier la flèche elle-même, et non seulement ses extrémités.

La composition n'est définie que pour des flèches dont l'arrivée de la première correspond au départ de la seconde. Deux flèches simplement placées dans la même catégorie ne sont pas automatiquement composables. Si ce critère échoue, il faut changer le chemin ou utiliser une flèche dont le domaine convient.

Enfin, préserver les objets ne suffit pas à définir un foncteur. La correspondance doit aussi préserver chaque identité et chaque composition. Une application qui associe des objets mais ignore les flèches ne franchit pas ce seuil.

Pour voir comment ce langage est présenté dans un contexte de recherche et de vulgarisation, consultez La théorie des catégories, un « abstract nonsense » ?. Vous y trouverez un prolongement consacré à la théorie des catégories et à ses motivations.