théorème intégral de Cauchy

Imaginez que vous parcouriez une boucle dans le plan complexe tout en additionnant les valeurs d’une fonction le long du trajet. Si la fonction est holomorphe partout dans la région et si la boucle peut s’y resserrer jusqu’à un point, les contributions se compensent exactement : l’intégrale vaut zéro.

La forme du lacet importe peu. Ce qui compte est qu’aucune singularité ni aucun trou du domaine n’empêche sa contraction.

Le théorème intégral de Cauchy, aussi appelé théorème de Cauchy-Goursat, concerne une fonction complexe holomorphe, c’est-à-dire dérivable au sens complexe en chaque point de son domaine. Soit U un ouvert simplement connexe du plan complexe ℂ. Cette propriété signifie notamment que tout lacet tracé dans U peut être continûment contracté en un point sans quitter U.

Si f est holomorphe sur U et si γ est un lacet rectifiable contenu dans U, alors l’intégrale curviligne de f le long de γ est nulle. Un lacet est une courbe fermée ; « rectifiable » garantit que sa longueur est finie et que l’intégrale curviligne est définie dans ce cadre.

Dans ce même domaine, f possède une primitive. L’intégrale entre deux points ne dépend donc que de ses extrémités : deux chemins rectifiables de mêmes départ et arrivée donnent la même valeur. La simple connexité est une hypothèse suffisante globale ; dans un domaine troué, la conclusion peut encore valoir pour certains lacets, mais elle n’est plus automatique pour tous.

Soit U un ouvert simplement connexe de ℂ, soit f une fonction holomorphe sur U et soit γ un lacet rectifiable dont l’image reste dans U. Alors :

Le symbole γ désigne le parcours fermé et z la variable complexe. L’orientation du lacet ne change pas cette conclusion : inverser le parcours change le signe d’une intégrale qui vaut déjà zéro.

Trois vérifications suffisent dans l’énoncé classique. Le domaine U doit être ouvert et simplement connexe. La fonction f doit être holomorphe sur tout U, pas seulement sur le tracé. Enfin, γ doit être un lacet rectifiable contenu dans U. Ces hypothèses donnent une intégrale nulle pour tout lacet de ce type.

Un contre-cas révélateur est la fonction f définie par f(z)=1/z sur ℂ privé de 0. Elle est holomorphe sur ce domaine, mais celui-ci possède un trou. Sur le cercle unité entourant 0, l’intégrale vaut 2πi et non zéro. Il faut alors tenir compte de la singularité encerclée, notamment avec le théorème des résidus.

Prenons la fonction f définie par f(z)=z²+1 sur ℂ. Elle est holomorphe partout. Le lacet γ est le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, avec le paramétrage γ(t)=e^it pour t compris entre 0 et 2π. La figure matérialise ce parcours fermé sans singularité intérieure.

1. Le long du cercle, z=e^it et dz=ie^itdt.
2. Le produit intégré devient (e^2it+1)ie^it=i(e^3it+e^it).
3. Une primitive par rapport à t est (1/3)e^3it+e^it.
4. Entre 0 et 2π, chaque exponentielle retrouve la valeur 1 : la différence est nulle.

On obtient donc ${\oint }_{\gamma }(z^2+1)dz=0\backslash oint\_\{\backslash gamma\}(z^2+1)\backslash ,dz=0$. Le contrôle est immédiat par le théorème : ℂ est simplement connexe, f y est holomorphe et γ est un lacet rectifiable.

Pour calculer une intégrale sur un contour fermé, on commence par repérer les singularités et les trous du domaine. Si la fonction est holomorphe sur un domaine simplement connexe contenant le lacet, le théorème donne directement zéro, sans paramétrer le contour.

Pour comparer deux chemins de mêmes extrémités, on les réunit en un lacet en parcourant le second en sens inverse. Si les hypothèses de Cauchy sont satisfaites dans la région concernée, la différence des deux intégrales est nulle.

Si une singularité est encerclée, l’annulation automatique disparaît. Le théorème des résidus devient alors l’outil adapté pour évaluer l’intégrale à partir des singularités isolées.

Le théorème intégral de Cauchy affirme l’annulation d’une intégrale sur un lacet sous des hypothèses d’holomorphie et de simple connexité. La formule intégrale de Cauchy exprime, elle, la valeur d’une fonction holomorphe en un point intérieur à l’aide d’une intégrale de contour ; la présence d’un point intérieur distingué permet de les séparer.

Il ne faut pas non plus le confondre avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Celle-ci borne un produit scalaire ou certaines intégrales par un produit de normes ; elle fournit une inégalité, tandis que le théorème intégral de Cauchy donne une égalité nulle en analyse complexe.

Holomorphe seulement sur le contour. Vérifier f le long de γ ne suffit pas : une singularité peut se cacher à l’intérieur. Il faut contrôler l’holomorphie sur un domaine approprié contenant le lacet et la déformation qui le contracte.

Domaine troué. Un domaine non simplement connexe n’impose pas que toutes les intégrales fermées soient non nulles ; il retire seulement la garantie globale. Il faut examiner si le lacet entoure un trou ou s’il est contractile dans le domaine.

Lacet parcouru plusieurs fois. La multiplicité change généralement une intégrale de contour, mais pas le verdict du théorème : zéro multiplié par tout nombre entier reste zéro lorsque toutes les hypothèses sont réunies.

Chemin non fermé. Le théorème n’affirme pas que l’intégrale sur un arc vaut zéro. Pour deux chemins ayant les mêmes extrémités, on compare leurs intégrales en formant un lacet et en vérifiant les hypothèses sur la région correspondante.

La fiche fonction holomorphe précise la régularité complexe qui rend possible l’annulation des intégrales fermées.

La fiche intégrale de Cauchy prolonge ce cadre vers la formule qui reconstruit une valeur intérieure depuis le contour.

La fiche théorème des résidus traite les contours qui encerclent des singularités isolées.

L’article Aux origines de l’analyse complexe replace les idées de Cauchy dans leur développement historique.