théorie de Cauchy

Dans le plan complexe, un nombre se repère par deux coordonnées. Pourtant, une fonction qui transforme ces nombres ne peut pas varier librement dans les deux directions. Pour posséder une dérivée complexe, elle doit donner le même taux de variation quelle que soit la direction par laquelle on approche un point.

La théorie de Cauchy organise les conséquences de cette contrainte. Les équations de Cauchy-Riemann la rendent testable, tandis que le théorème et la formule intégrale relient les valeurs à l’intérieur d’un contour à ce qui se passe sur son bord.

La théorie de Cauchy est l’ensemble de résultats qui structure l’étude des fonctions d’une variable complexe. Soit U un ouvert du plan complexe et f une fonction de U vers les nombres complexes. La fonction f est dite holomorphe sur U lorsque sa dérivée complexe existe en chaque point de U. Au point z, cette dérivée est la limite suivante, si elle existe et ne dépend pas de la direction complexe suivie par l’accroissement h :

En écrivant le point z sous la forme z = x + iy et la valeur f(z) sous la forme u(x, y) + iv(x, y), les fonctions réelles u et v doivent satisfaire les équations de Cauchy-Riemann. Lorsque leurs dérivées partielles sont continues, ces équations fournissent aussi un critère suffisant d’holomorphie :

Soit γ un contour fermé, régulier par morceaux, qui peut se contracter dans U. Le théorème intégral affirme alors :La formule intégrale va plus loin. Si γ est simple, orienté positivement, si le point a est à l’intérieur et si f est holomorphe sur un voisinage du contour et de la région qu’il enferme, alors :La valeur intérieure est ainsi reconstruite à partir des valeurs prises sur le contour.

On rencontre la théorie de Cauchy dans un problème où les entrées et les sorties sont des nombres complexes. Plusieurs marqueurs la signalent : un domaine ouvert du plan complexe, une fonction f(z), une dérivée complexe, un contour fermé orienté ou une intégrale le long de ce contour.

Les parties réelle et imaginaire de la fonction peuvent aussi apparaître séparément sous les noms u et v. Les dérivées partielles indiquent alors un test de Cauchy-Riemann. Un quotient comportant un point intérieur et une intégration sur le bord annonce plutôt la formule intégrale. Dans tous les cas, le support porte une information sur la régularité complexe et ses conséquences globales.

Pour lire un énoncé relevant de la théorie de Cauchy, on cherche d’abord ce qui doit être établi : l’holomorphie, la valeur d’une dérivée, une intégrale nulle ou une valeur à reconstruire.

1. On repère le domaine où la fonction est holomorphe et les points où elle ne l’est pas. 2. On vérifie que le point ou le contour reste dans ce domaine. 3. On choisit l’outil : quotient de différences, équations de Cauchy-Riemann, théorème intégral ou formule intégrale. 4. Pour un contour, on contrôle son orientation ; le sens positif usuel est le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Un tracé lisse peut donner l’impression qu’une fonction est suffisamment régulière. Cette impression ne prouve rien : la dérivée complexe doit être indépendante de la direction d’approche. Le bon réflexe consiste à tester cette indépendance ou les équations de Cauchy-Riemann avec leurs hypothèses de régularité.

Considérons la fonction f qui associe à tout nombre complexe z son carré, et le point z₀ = 1 + i. Les données sont donc f(z) = z², z₀ = 1 + i et un accroissement complexe h non nul qui tend vers 0. Le schéma matérialise aussi la valeur f(z₀) dans le plan d’arrivée.

1. On développe le quotient de différences :

2. Lorsque h tend vers 0, l’expression tend vers 2z₀, quelle que soit la direction complexe suivie. La dérivée existe donc au point choisi et vaut f′(z₀) = 2 + 2i.

3. Un calcul indépendant contrôle le résultat. Avec z = x + iy, les parties réelle et imaginaire sont u(x, y) = x² − y² et v(x, y) = 2xy. Leurs dérivées partielles vérifient :

4. Au point de coordonnées (1, 1), les deux voies donnent la même dérivée, 2 + 2i. Enfin, la valeur représentée se contrôle directement : f(1 + i) = (1 + i)² = 2i.

Pour décider si une fonction donnée par ses parties réelle et imaginaire est holomorphe, on teste les équations de Cauchy-Riemann et la régularité des dérivées partielles. Si la fonction est présentée sous une forme algébrique simple, le quotient de différences peut être plus direct.

Pour calculer une intégrale sur un contour fermé, on localise d’abord les singularités. Si la fonction est holomorphe sur la zone entourée et que le contour s’y contracte, le théorème intégral donne immédiatement zéro. Sinon, il faut employer un outil qui traite explicitement les singularités.

Pour retrouver la valeur d’une fonction holomorphe en un point intérieur, la formule intégrale exploite ses valeurs sur un contour. Elle est préférable à un calcul direct lorsque l’intégrande contient précisément le noyau de Cauchy et que les hypothèses géométriques sont vérifiées.

La théorie de Cauchy désigne ici le cadre de l’analyse complexe. Le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy en sont deux résultats distincts : le premier annule certaines intégrales fermées, la seconde reconstruit une valeur intérieure.

Une fonction peut être dérivable comme application de deux variables réelles sans être dérivable au sens complexe. Le critère qui tranche est l’indépendance du quotient de différences par rapport à la direction complexe, que traduisent les équations de Cauchy-Riemann sous des hypothèses appropriées.

Équations vérifiées en un seul point. Ce constat ne suffit pas à rendre une fonction holomorphe dans un voisinage. Il faut contrôler les équations sur un ouvert et disposer d’hypothèses de régularité permettant d’en déduire la dérivabilité complexe.

Trou dans le domaine. Une fonction peut être holomorphe le long d’un contour sans que son intégrale soit nulle si le contour entoure un point exclu du domaine. Il faut vérifier que le contour peut se contracter sans traverser de singularité, ou employer un résultat adapté aux singularités enfermées.

Point sur le contour. La formule intégrale classique exige que le point reconstruit soit strictement à l’intérieur et que la fonction soit holomorphe sur un voisinage du contour et de son intérieur. Si le point atteint le contour, le noyau devient singulier sur le chemin et la formule ne s’applique plus telle quelle.

Orientation inversée. Parcourir le contour dans le sens des aiguilles d’une montre change le signe de l’intégrale. Avant d’appliquer la formule de Cauchy avec son coefficient standard, il faut remettre le contour dans le sens positif ou introduire le signe opposé.

La fiche analyse complexe situe le domaine mathématique dans lequel les résultats de Cauchy prennent place.

La fiche fonction holomorphe approfondit la dérivabilité complexe qui sert d’hypothèse centrale.

La fiche équations de Cauchy-Riemann détaille le critère reliant les parties réelle et imaginaire.

L’article Aux origines de l’analyse complexe replace la constitution de cette théorie dans son histoire.