AnalyseFormule · Glossaire
formule de Cauchy
La formule de Cauchy est un résultat central de l'analyse complexe. Soit U un ouvert connexe du plan complexe ℂ, f une fonction holomorphe définie sur U, γ un lacet (chemin fermé) par morceaux C¹ tracé dans U et homologiquement nul dans U, et z un point de U n'appartenant pas à γ. L'indice indγ(z) désigne le nombre de tours que γ effectue autour du point z, compté algébriquement. La formule de Cauchy affirme alors que : f(z) · indγ(z) = (1 / 2iπ) · ∫_γ f(ξ) / (ξ − z) dξ. Dans le cas particulier où γ est un cercle C orienté positivement, dont le disque est contenu dans U, et z est un point intérieur à ce disque, l'indice vaut 1 et la formule se simplifie en : f(z) = (1 / 2iπ) · ∫_C f(ξ) / (ξ − z) dξ. Ce résultat remarquable montre que la valeur d'une fonction holomorphe en un point intérieur est entièrement déterminée par ses valeurs sur le contour. Il entraîne notamment que toute fonction holomorphe est analytique, c'est-à-dire développable en série entière.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la formule avec l’indice du contour et toutes ses notations.
- Vérifier les hypothèses sur la fonction, le point, le lacet et le domaine.
- Calculer une intégrale sur le cercle unité pour f(ξ) = ξ² et z = 1/2.
- Distinguer la formule intégrale du produit de Cauchy, de la loi de Cauchy et de Cauchy-Schwarz.
- Repérer les cas d’indice nul, d’orientation inversée, de point sur le contour et de domaine troué.
En clair
Imaginez un cercle tracé autour d’un point. Une fonction holomorphe attribue une valeur complexe à chaque position du cercle et à chaque point intérieur. La formule de Cauchy reconstitue la valeur au point choisi à partir des seules valeurs rencontrées en parcourant le bord.
Le parcours tient compte de son sens et du nombre de tours. Pour un cercle simple, un tour positif autour du point compte 1 ; si le point est à l’extérieur, l’indice vaut 0. Pour un contour plus complexe, l’indice est un entier qui dépend du point, du nombre de tours et de leur sens. Cette sensibilité au contour est propre à la grande rigidité des fonctions holomorphes.
Définition
La formule intégrale de Cauchy relie la valeur d’une fonction holomorphe à une intégrale sur un contour fermé. On note U le domaine ouvert, f la fonction holomorphe sur U, γ le lacet fermé par morceaux C¹ contenu dans U et z un point de U qui n’appartient pas au tracé de γ. L’indice du lacet autour de z, noté indγ(z), compte algébriquement ses tours autour de ce point.
Lorsque le lacet peut être déformé dans U sans franchir de trou du domaine, la relation est . La variable complexe ξ parcourt le contour, tandis que i est le nombre complexe dont le carré vaut −1.
Si γ est un cercle orienté dans le sens positif et si z se trouve dans son disque, l’indice vaut 1. L’intégrale restitue alors directement f(z). Cette identité permet aussi d’exprimer les dérivées de f et conduit au fait qu’une fonction holomorphe se développe localement en série entière.
Le principe
Soient f une fonction holomorphe sur un ouvert U, γ un lacet fermé par morceaux C¹ dans U et z un point de U hors du tracé de γ. On suppose que l’indice de γ est nul autour de tout point extérieur à U, condition appelée « γ homologiquement nul dans U ». Alors :
Pour un cercle C parcouru une fois dans le sens positif autour de z, l’indice vaut 1 : le membre de droite est exactement la valeur f(z).
Quand l'utiliser
La fonction f doit être holomorphe sur un ouvert U qui contient le contour et le point z. Le lacet γ est fermé par morceaux C¹, reste dans U, ne passe pas par z et doit être homologiquement nul dans U : son enroulement total autour de chaque point situé hors de U est nul. Cette condition d’homologie exclut une contribution liée aux trous du domaine.
Si le contour passe par z, le dénominateur ξ − z s’annule sur le parcours et l’intégrale usuelle n’est pas définie. Si f possède une singularité à l’intérieur, la formule ne s’applique pas telle quelle ; le théorème des résidus est alors l’outil adapté.
Un exemple, pas à pas
Données. La fonction est f(ξ) = ξ2. Le contour C est le cercle unité, parcouru une fois dans le sens positif. Le point choisi est z = 1/2, situé à l’intérieur du cercle.
1. La fonction polynomiale f est holomorphe sur tout le plan complexe. Le cercle ne passe pas par 1/2 et effectue un tour positif autour de ce point, donc indC(1/2) = 1.
2. La formule de Cauchy donne .
3. On évalue la fonction au point intérieur : f(1/2) = (1/2)2 = 1/4. Ainsi, .
Contrôle. L’intégrande se décompose en ξ + 1/2 + 1/[4(ξ − 1/2)]. Les deux premiers termes ont une intégrale nulle sur le cercle fermé ; le dernier donne (1/4) × 2πi = πi/2. La figure matérialise le contour, son orientation et le point où la valeur 1/4 est reconstruite.
En pratique
Pour calculer une intégrale de contour contenant un facteur 1/(ξ − z), on vérifie d’abord l’indice indγ(z), l’orientation du contour et l’holomorphie du reste de l’intégrande. Sous les hypothèses de la formule, l’intégrale vaut alors 2iπ · f(z) · indγ(z) ; elle se simplifie en 2iπ · f(z) lorsque l’indice vaut 1.
Pour retrouver une valeur à l’intérieur d’un cercle, on exploite les valeurs sur le bord. Si plusieurs singularités sont enfermées, on préfère le théorème des résidus, qui additionne leurs contributions.
Pour étudier les dérivées ou le développement local d’une fonction holomorphe, les formules de Cauchy pour les dérivées donnent des coefficients de série entière à partir du même type d’intégrale.
À ne pas confondre
Avec le produit de Cauchy. Le produit de Cauchy combine les coefficients de deux séries. La présence d’une somme de produits de coefficients signale cette autre notion ; la formule intégrale emploie, elle, un contour complexe.
Avec la loi de Cauchy. La loi de Cauchy est une distribution de probabilité. Le vocabulaire de densité et de probabilité signale ce cadre probabiliste, tandis que la formule traitée ici reconstruit une fonction holomorphe par une intégrale de contour.
Avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Celle-ci compare un produit scalaire au produit de deux normes. La majoration de la valeur absolue d’un produit scalaire par le produit des normes relève de Cauchy-Schwarz ; une valeur intérieure déduite d’un contour relève de la formule intégrale.
Limites et pièges
Indice nul. Sous les hypothèses d’holomorphie et d’homologie de la formule, si indγ(z) = 0, l’intégrale correspondante vaut 0. Elle ne permet pas de retrouver f(z), car les deux membres de l’identité sont multipliés par cet indice nul.
Orientation inversée. Un tour dans le sens négatif donne un indice égal à −1. Le signe de l’intégrale s’inverse aussi ; il faut conserver l’indice au lieu d’utiliser automatiquement la version simplifiée.
Point sur le contour. Lorsque z appartient au tracé, le noyau 1/(ξ − z) devient singulier pendant le parcours. L’intégrale ordinaire du théorème n’est plus disponible ; une autre notion d’intégrale exige des hypothèses supplémentaires.
Domaine troué. La connexité de U ne suffit pas pour un lacet arbitraire. Si le contour s’enroule autour d’un trou absent de U, il faut vérifier la condition d’homologie ; sinon, l’énoncé général ne peut pas être appliqué tel quel.
Pour aller plus loin
analyse complexe — Situer la formule dans l’étude des fonctions d’une variable complexe.
fonction holomorphe — Approfondir la régularité qui rend possible la reconstruction depuis le contour.
Intégrale curviligne — Revoir le calcul d’une intégrale le long d’un chemin paramétré.
théorème des résidus — Traiter les contours qui renferment plusieurs singularités isolées.
série entière — Relier la formule de Cauchy au développement local des fonctions holomorphes.
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