AnalyseObjet mathématique · Glossaire
série de Laurent
Une série de Laurent d’une fonction f holomorphe sur une couronne r < |z−a| < R (0 ≤ r < R) est son unique développement en puissances entières, positives ou négatives, de z−a. Elle converge normalement sur tout compact de cette couronne, qui fixe donc le domaine où elle représente f. Lorsque f est définie sur un disque ponctué autour de a et que a est une singularité isolée, sa partie à puissances négatives, dite partie principale, décrit cette singularité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le centre et la couronne d’un développement de Laurent.
- Distinguer partie régulière et partie principale.
- Développer 1/[z(z−2)] sur 0 < |z| < 2 et contrôler le résultat.
- Reconnaître les limites de convergence liées aux frontières de la couronne.
En clair
Imaginez une zone en forme d’anneau autour d’un point interdit. Dans cette zone, une fonction complexe peut être décrite par une somme de puissances de la distance orientée au centre. Certaines puissances sont positives, comme dans une série entière. Lorsque la zone permet de s’approcher du point central, en particulier si son rayon intérieur est nul, les puissances négatives deviennent très grandes à son approche.
Cette écriture est la série de Laurent. Sa partie négative agit comme une empreinte de ce qui empêche la fonction d’être régulière au centre, tandis que la couronne précise exactement où le développement est valable.
Définition
Soit un point du plan complexe noté a. Une couronne de centre a est l’ensemble des nombres complexes z dont la distance à a est strictement comprise entre deux rayons r et R, avec 0 ≤ r < R. On considère une fonction f holomorphe sur toute cette couronne.
Le théorème de Laurent affirme alors qu’il existe une unique famille de coefficients complexes, notés an et indexés par tous les entiers relatifs, telle que :
Cette série converge normalement sur chaque compact contenu dans la couronne. Pour chaque entier relatif n, le coefficient se calcule sur un cercle γ de centre a, entièrement tracé dans la couronne et parcouru dans le sens positif :
Les termes d’indice négatif forment la partie principale. Ils décrivent le comportement lié à une singularité isolée au centre. Les termes d’indice positif ou nul constituent la partie régulière du développement.
De quoi c'est fait
Une série de Laurent repose sur quatre éléments. Le centre a fixe les puissances de z − a. La couronne, déterminée par les rayons r et R, garantit la convergence et la représentation de la fonction sur le domaine considéré, sans que celui-ci soit nécessairement maximal. Les coefficients an sont attachés à la fonction et à cette couronne. Enfin, les indices entiers séparent une partie régulière, d’indices positifs ou nuls, d’une partie principale, d’indices négatifs.
Le choix du centre détermine donc la forme de chaque terme, tandis que la couronne détermine quelle série représente effectivement la fonction. Une fois le centre et la couronne fixés, la formule intégrale suffit à déterminer tous les coefficients. La couleur ou l’échelle d’un dessin de couronne n’appartiennent pas à la définition.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie par . Le centre choisi est 0 et le domaine est le disque poncturé 0 < |z| < 2. Les seules données numériques sont donc le point exclu 0 et le rayon extérieur 2.
1. On isole un facteur z et on fait apparaître une série géométrique :
2. Comme |z| < 2, le quotient |z/2| est strictement inférieur à 1. On développe alors le second facteur :
3. Les premiers termes sont . Le seul terme d’indice négatif est donc −1/(2z). On contrôle le résultat en multipliant la série par 1 − z/2 : tous les termes successifs s’annulent, sauf le premier.
La figure matérialise le domaine 0 < |z| < 2 et un cercle γ de rayon 1, utilisable dans la formule des coefficients.
En pratique
Pour décrire une fonction autour d’un point exclu, on choisit d’abord le centre et une couronne sur laquelle la fonction est holomorphe. Une série de Taylor convient si aucune puissance négative n’est nécessaire ; la série de Laurent est adaptée lorsque le centre reste hors du domaine.
Pour étudier une singularité isolée, on regarde la partie principale. Dans l’exemple, le terme −1/(2z) signale immédiatement le comportement particulier au voisinage de 0, sans confondre ce point exclu avec le reste du disque.
Pour obtenir un coefficient précis, on peut développer algébriquement la fonction ou employer l’intégrale sur un cercle intérieur à la couronne. Le second geste est préférable lorsqu’un coefficient isolé suffit et que le développement complet serait inutile.
À ne pas confondre
Une série de Taylor n’utilise que des puissances d’indice positif ou nul et représente une fonction holomorphe au centre dans un disque. Une série de Laurent autorise aussi les indices négatifs et se développe sur une couronne qui peut exclure le centre. Ainsi, le terme −1/(2z) de l’exemple ne peut appartenir à aucune série de Taylor centrée en 0.
Limites et pièges
Lorsque le rayon intérieur vaut 0, l’inégalité reste stricte : le centre a est exclu. Le domaine est un disque poncturé 0 < |z − a| < R, et non le disque entier. Il faut vérifier séparément si la fonction se prolonge au centre.
Une même fonction peut avoir des séries différentes sur deux couronnes distinctes. Pour la fonction de l’exemple, le développement obtenu vaut seulement lorsque 0 < |z| < 2. Au-delà du cercle |z| = 2, il faut recommencer le développement dans le nouveau domaine.
La convergence normale est garantie sur tout compact de la couronne, pas sur ses cercles frontières. Avant de substituer un point dans la série, il faut donc contrôler les deux inégalités strictes qui définissent la couronne.
L’unicité ne dispense pas de préciser le centre et la couronne. Elle signifie que, pour ces données fixées, une seule suite de coefficients représente la fonction. Changer l’une de ces données change le problème.
Pour aller plus loin
La notion de fonction holomorphe précise la régularité exigée sur la couronne.
Le résidu approfondit le rôle d’un coefficient particulier de la partie principale.
Le développement en série de Taylor montre le cas sans puissances négatives autour du centre.
L’article Aux origines de l’analyse complexe replace ces outils dans leur cadre mathématique.
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