AnalyseNotion · Glossaire
Éliminable (singularité)
Une singularité d'une fonction analytique est dite éliminable si la fonction peut être prolongée par continuité à ce point de façon à obtenir une fonction encore analytique. Riemann a montré qu'une singularité isolée est éliminable si et seulement si la fonction est bornée au voisinage de ce point. On distingue les singularités éliminables, les pôles et les singularités essentielles dans la classification des singularités isolées des fonctions holomorphes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le trou ponctuel que représente une singularité éliminable.
- Appliquer le critère de bornitude de Riemann sous les bonnes hypothèses.
- Calculer l'unique valeur du prolongement sur un quotient factorisable.
- Distinguer une singularité éliminable d'un pôle et d'une singularité essentielle.
En clair
Imaginez une courbe régulière à laquelle il manque un seul point. La formule n'est pas définie à cet endroit, mais les valeurs voisines se rapprochent toutes de la même valeur finie. Il suffit alors de placer le point manquant pour effacer le défaut.
En analyse complexe, ce défaut ponctuel est une singularité éliminable lorsque le remplissage rend la fonction holomorphe, c'est-à-dire dérivable au sens complexe, autour du point. Le trou vient donc de la présentation initiale de la fonction, non d'un comportement réellement infini.
Définition
Soit a un point isolé retiré du domaine d'une fonction f. On suppose que f est holomorphe dans un disque centré en a, sauf peut-être au centre. La singularité en a est éliminable s'il existe une fonction g, holomorphe sur tout le disque, qui coïncide avec f hors de a. Ce prolongement est unique, car sa valeur au centre est imposée par la limite de f.
Le théorème de prolongement de Riemann fournit un critère équivalent : une singularité isolée d'une fonction holomorphe est éliminable exactement lorsque la fonction reste bornée dans un voisinage ponctué du point. Autrement dit, il existe un nombre réel positif M et un rayon positif r tels que . La valeur ajoutée est alors .
Ce cas appartient à la classification des singularités isolées des fonctions holomorphes. Si le défaut n'est pas éliminable, il peut être un pôle ou une singularité essentielle. Le mot « isolée » est indispensable : un disque assez petit doit ne contenir aucune autre singularité.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction complexe f donnée par le quotient de z2 − 1 par z − 1, avec le point z = 1 exclu. Les données sont donc le numérateur z2 − 1, le dénominateur z − 1 et le point étudié 1.
1. Factorisons le numérateur :
2. Pour tout nombre complexe z distinct de 1, le facteur non nul z − 1 se simplifie :
3. Lorsque z tend vers 1, l'expression simplifiée z + 1 tend vers 2. La limite existe et elle est finie.
4. Définissons g par g(z) = z + 1 pour tout z, donc en particulier g(1) = 2. Cette fonction est holomorphe et prolonge f.
Le contrôle est direct : hors de 1, g redonne exactement le quotient initial ; au point 1, elle prend l'unique valeur compatible avec la limite. Sur l'axe réel, le graphe est ainsi la droite d'équation y = x + 1, d'abord privée du point (1, 2), puis complétée par ce point.
En pratique
Devant un quotient. On factorise le numérateur et le dénominateur. Si le facteur responsable de l'annulation se simplifie et que l'expression restante est holomorphe, on prolonge par sa valeur au point. Si aucun facteur ne disparaît et que le module diverge, il faut plutôt rechercher un pôle.
Pour démontrer le prolongement. On peut calculer une limite finie ou établir que la fonction reste bornée dans tout un voisinage ponctué. Le calcul de limite donne directement la valeur à ajouter ; le critère de bornitude est souvent préférable lorsqu'une estimation est plus accessible qu'une limite explicite.
Avec une série de Laurent. On examine les puissances négatives autour du point isolé. Leur absence signale une singularité éliminable ; une partie principale non nulle oriente au contraire vers un pôle ou une singularité essentielle.
À ne pas confondre
Un pôle. Près d'une singularité éliminable, la fonction reste bornée et admet une valeur finie à ajouter. Près d'un pôle, son module devient arbitrairement grand. Ainsi, le quotient de 1 par z − 1 possède un pôle en 1, tandis que le quotient de z2 − 1 par z − 1 possède un trou éliminable.
Une singularité essentielle. Elle n'est ni éliminable ni un pôle. Le critère de bornitude tranche déjà : la fonction exponentielle de 1/z, définie hors de 0, n'est pas bornée dans un voisinage ponctué de 0 et aucun ajout d'une valeur finie ne la rend holomorphe en 0.
Limites et pièges
Vérifier l'holomorphie. La seule bornitude ne suffit pas pour une fonction quelconque. Par exemple, la fonction qui associe à z le quotient de son conjugué par z est bornée hors de 0, mais elle n'est pas holomorphe dans le voisinage ponctué. Le théorème de Riemann ne s'applique donc pas.
Contrôler tout le voisinage. Un comportement sage sur un seul chemin ne prouve rien. Pour la fonction exponentielle de 1/z, le module vaut 1 sur l'axe imaginaire privé de 0, mais il devient arbitrairement grand lorsque z tend vers 0 par valeurs réelles positives.
Ajouter la bonne valeur. Dans l'exemple conducteur, seule la valeur 2 prolonge la fonction au point 1. Toute autre valeur comblerait formellement le domaine, mais créerait une discontinuité et ne supprimerait pas la singularité.
Exiger une singularité isolée. Le critère suppose qu'un disque centré au point ne contient aucune autre singularité. Si des points singuliers s'accumulent vers ce centre, la classification en singularité éliminable, pôle ou singularité essentielle ne s'y applique pas directement.
Pour aller plus loin
La fiche fonction holomorphe précise le cadre de dérivabilité complexe dans lequel le prolongement doit rester valable.
La série de Laurent fournit un autre diagnostic local en révélant les puissances négatives responsables de la singularité.
La notion de fonction méromorphe situe les pôles dans une famille de fonctions holomorphes hors de singularités contrôlées.
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