Casaroti-Weierstrass (théorème de)

Imaginez que l’on zoome sans cesse autour d’un point où une fonction complexe n’est pas définie. Si ce point est une singularité essentielle isolée, les valeurs obtenues ne se stabilisent pas et ne partent pas simplement vers l’infini. Elles passent aussi près que l’on veut de chaque nombre complexe.

Le théorème ne promet pas que chaque valeur sera exactement atteinte. Il affirme une densité : quelle que soit la cible choisie et la précision demandée, on peut partir d’un point suffisamment proche de la singularité pour que son image respecte cette précision.

Soit un point complexe noté a. Une fonction f possède en a une singularité essentielle isolée lorsqu’elle est holomorphe dans un disque privé de son centre, mais que cette singularité n’est ni supprimable par un prolongement holomorphe ni un pôle. Le théorème de Casorati-Weierstrass décrit alors l’image de chaque voisinage ponctué de a.

Pour tout rayon positif r tel que le disque ponctué défini par soit contenu dans le domaine de f, l’ensemble des valeurs prises par f dans ce disque est dense dans le plan complexe. Autrement dit, pour toute cible complexe w et toute précision positive ε, il existe un tel point z vérifiant .

La densité garantit une approximation arbitrairement fine, pas nécessairement l’égalité f(z) = w. Le grand théorème de Picard renforce ce résultat : au voisinage d’une singularité essentielle, toutes les valeurs complexes sauf au plus une sont effectivement prises.

Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage ponctué d’un point complexe a. Si a est une singularité essentielle isolée de f, alors l’image par f de tout voisinage ponctué de a est dense dans ℂ.

La formulation quantifiée est la suivante : pour chaque cible w de ℂ, chaque rayon positif r tel que le disque ponctué défini par soit contenu dans le domaine de f, et chaque précision positive ε, il existe un point z dans ce disque tel que .

Le cadre est celui d’une fonction d’une variable complexe. Première condition : la fonction doit être holomorphe dans un disque centré en a, centre exclu. Deuxième condition : aucun autre point singulier ne doit s’accumuler vers a. Troisième condition : la singularité en a doit être essentielle, et non supprimable ou polaire. Sous ces hypothèses, la conclusion vaut dans chaque disque ponctué, aussi petit soit-il.

Le contre-cas f(z) = 1/z au voisinage de 0 possède un pôle : dans un disque assez petit, son image évite toutes les valeurs de petit module. Casorati-Weierstrass ne s’applique donc pas ; il faut employer la description propre aux pôles.

Considérons la fonction exponentielle complexe f définie, pour tout nombre complexe non nul z, par $f(z)=e^{1\mathrm{/}z}f(z)=e^\{1/z\}$. La singularité 0 est essentielle. Prenons comme cible le nombre 1 et choisissons un entier non nul k.

1. Posons $z_k=1\mathrm{/}(2\pi ik)z\_k=1/(2\backslash pi\; i\; k)$, où i est le nombre complexe dont le carré vaut −1.

2. Son inverse vaut $1\mathrm{/}{z}_k=2\pi ik1/z\_k=2\backslash pi\; i\; k$. Par périodicité de l’exponentielle complexe, $f(z_k)=e^{2\pi ik}=1f(z\_k)=e^\{2\backslash pi\; i\; k\}=1$.

3. Quand la valeur absolue de k grandit, le module de z_k vaut 1/(2π|k|) et tend vers 0. On obtient donc la valeur 1 à des points arbitrairement proches de la singularité.

Le contrôle se refait en substituant z_k dans l’expression de f. La figure matérialise cette suite de points du plan de départ qui converge vers 0 tandis que toutes leurs images coïncident avec 1.

Lorsqu’une fonction complexe est étudiée près d’un point singulier isolé, on commence par déterminer la nature de la singularité. Si elle est essentielle, Casorati-Weierstrass décrit immédiatement la dispersion locale des valeurs. Pour un pôle ou une singularité supprimable, leurs descriptions spécifiques sont plus précises.

Pour viser une valeur complexe donnée, le théorème garantit l’existence d’images aussi proches que souhaité dans chaque voisinage ponctué. Il ne fournit toutefois pas les points correspondants : leur calcul demande une résolution explicite ou une méthode numérique adaptée à la fonction.

Si la question porte sur les valeurs exactement atteintes, le grand théorème de Picard est l’outil pertinent. Casorati-Weierstrass suffit lorsque seule l’approximation arbitraire, donc la densité de l’image, doit être établie.

Avec le grand théorème de Picard. Casorati-Weierstrass affirme que l’image est dense ; Picard affirme que chaque valeur, sauf au plus une, est prise. La fonction e^1/z tranche la différence : elle n’est jamais nulle, mais ses valeurs peuvent être arbitrairement proches de 0.

Avec le théorème d’approximation de Weierstrass. Celui-ci concerne l’approximation uniforme de fonctions continues par des polynômes sur un segment réel. La présence du nom Weierstrass ne suffit donc pas : ici, le critère décisif est une singularité essentielle isolée en analyse complexe.

Densité ne signifie pas surjectivité. Une valeur peut manquer tout en étant approchée d’aussi près que voulu. Pour f(z) = e^1/z, 0 n’est jamais atteint ; les points z = −1/n donnent pourtant f(z) = e⁻ⁿ, qui tend vers 0 lorsque l’entier positif n grandit.

Le centre reste exclu. Le théorème porte sur des voisinages ponctués : il n’attribue aucune valeur à la fonction au point singulier. Il faut donc conserver la condition z ≠ a dans tout raisonnement.

L’isolement est indispensable. Si d’autres singularités s’accumulent au point étudié, aucun disque ponctué n’est un domaine où la fonction est holomorphe. L’hypothèse échoue et ce théorème ne fournit pas de conclusion.

Une suite particulière ne prouve pas toute la densité. Montrer que certaines images approchent une seule cible illustre le phénomène, mais ne traite pas toutes les cibles complexes. Pour conclure en général, il faut invoquer le théorème avec ses quantificateurs complets.

La fiche singularité aide à replacer le cas essentiel parmi les différents comportements possibles d’une fonction près d’un point problématique.

La notion de fonction holomorphe précise la régularité complexe exigée dans tout voisinage ponctué où le théorème s’applique.

La fonction exponentielle éclaire l’exemple e^1/z, notamment la périodicité complexe qui produit une infinité d’antécédents de 1 près de 0.