singularité

Tracez la courbe de la fonction inverse, qui associe à chaque nombre non nul son inverse. À mesure que le nombre choisi se rapproche de 0, la valeur obtenue grandit en valeur absolue. Mais à 0, aucun résultat n'existe : la courbe se sépare en deux branches.

Le point 0 est une singularité de cette fonction. Il signale l'endroit précis où une propriété habituelle — ici, être définie — disparaît. Selon l'objet étudié, la propriété perdue peut être l'inversibilité, la régularité d'une courbe ou la possibilité de résoudre une équation sous sa forme ordinaire.

Une singularité est un point, ou plus généralement une situation, où un objet mathématique perd une propriété vérifiée aux points ordinaires voisins. Le mot n'impose donc pas une propriété unique : sa signification précise dépend du cadre et doit toujours être accompagnée de l'objet étudié. Pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}f(x)=\backslash frac\{1\}\{x\}$, le réel 0 est singulier parce qu'il n'appartient pas au domaine de définition. Une courbe habituellement lisse possède un point singulier à un rebroussement, où sa régularité est perdue.

En analyse complexe, si une fonction est holomorphe sur le plan complexe privé d'un point noté a, ce point est une singularité isolée. Son développement en série de Laurent permet notamment de reconnaître un pôle ; les pôles sont les singularités caractéristiques des fonctions méromorphes.

En algèbre linéaire, une matrice carrée est singulière exactement lorsqu'elle n'est pas inversible, donc lorsque son déterminant est nul. Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre, de terme principal A₀(z), le point z est singulier lorsque la matrice A₀(z) n'est pas inversible. Dans le cas scalaire, cette condition devient A₀(z) = 0. Ces emplois ont le même fil directeur : une opération normalement disponible — évaluer, lisser, inverser ou isoler la dérivée — cesse de l'être.

On étudie la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}f(x)=\backslash frac\{1\}\{x\}$. Données : son domaine contient tous les nombres réels sauf 0 ; on teste successivement 2, 1, 0,5 et 0, puis les valeurs négatives opposées.

1. On calcule les inverses du côté positif.
$f(2)=\frac{1}{2},f(1)=1,f(\mathrm{0,5})=2f(2)=\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash quad\; f(1)=1,\backslash quad\; f(0\{,\}5)=2$

2. On tente ensuite le même calcul en 0. La division par 0 n'étant pas définie, f(0) n'existe pas.

3. Du côté négatif, les valeurs sont les opposées des précédentes : f(−2) = −0,5, f(−1) = −1 et f(−0,5) = −2. Les deux branches s'éloignent en sens contraires près de 0.

Le contrôle est direct : pour chaque entrée non nulle testée, multiplier l'entrée par sa sortie redonne 1. Ce contrôle est impossible en 0. Le défaut est donc localisé en ce point, qui est la singularité de la fonction inverse.

Pour une fonction donnée par une fraction, on commence par chercher les valeurs qui annulent le dénominateur. Si la valeur rend réellement la fonction indéfinie, elle devient un point à étudier séparément ; ailleurs, le calcul ordinaire reste disponible.

Pour une matrice carrée, on calcule le déterminant. Un déterminant non nul indique que la matrice est inversible. Un déterminant nul signale au contraire une matrice singulière : l'inversion n'est alors pas disponible.

Pour une équation différentielle du premier ordre, on inspecte le coefficient placé devant la dérivée. Là où ce coefficient est inversible, on peut isoler la dérivée. Là où il ne l'est plus — où il vaut 0 dans le cas scalaire — le point exige un traitement distinct.

Point singulier d'une fonction et matrice singulière. Pour la fonction inverse, le test porte sur la définition en 0 : f(0) n'existe pas. Pour une matrice carrée, il porte sur l'inversibilité : elle est singulière exactement lorsque son déterminant est nul.

Pôle et point de rebroussement. Un pôle est une singularité rencontrée dans l'étude d'une fonction méromorphe par sa série de Laurent. Un point de rebroussement appartient à une courbe et marque une perte de régularité. Le type d'objet suffit ici à séparer les deux emplois.

Une singularité n'est pas toujours un pôle. La source présente le pôle comme un type de singularité caractéristique des fonctions méromorphes. Pour conclure à un pôle, il faut donc se placer dans ce cadre et examiner le développement en série de Laurent, plutôt que généraliser à partir du seul mot « singularité ».

« La fonction devient infinie » est une lecture trompeuse. Pour $f(x)=\frac{1}{x}f(x)=\backslash frac\{1\}\{x\}$, aucune valeur n'est attribuée en 0. Les valeurs deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue quand x approche 0, avec des signes opposés selon le côté ; l'infini n'est pas la valeur f(0).

Le mot change de critère avec le contexte. Le déterminant nul concerne les matrices carrées, tandis que la perte de régularité concerne une courbe. Avant de conclure, il faut nommer l'objet, la propriété attendue et le test qui échoue.

Dans une équation différentielle scalaire, le cas charnière est zéro. Le coefficient A₀(z) placé devant la dérivée est inversible lorsqu'il est non nul. La singularité apparaît donc lorsqu'il vaut 0 ; on ne peut alors plus diviser l'équation par ce coefficient.

En analyse complexe, le développement en série de Laurent sert à étudier une fonction holomorphe sur le plan complexe privé d'un point. Dans le cas des fonctions méromorphes, les pôles forment des singularités caractéristiques.

Cette lecture locale rejoint l'idée commune aux autres cadres : au lieu de traiter tout l'objet comme irrégulier, on isole le point problématique et on recherche la propriété exacte qui y disparaît.