Birégulier (point)

Imaginez une petite carte qui transforme le voisinage d'un point sans pli, collage ni déchirure. Si l'on peut revenir en arrière, dans ce voisinage, par une transformation du même type analytique, le point est birégulier pour cette application. La propriété est locale : seule une zone assez petite autour du point compte. Ailleurs, l'application peut se comporter autrement ou envoyer deux points différents au même endroit.

Soit une application analytique f entre deux variétés analytiques complexes. Un point p de la variété de départ est birégulier pour f s'il existe un voisinage de p sur lequel f est bijective vers un voisinage de son image, et si l'application réciproque y est elle aussi analytique. Autrement dit, f est un biholomorphisme local en p. Cette définition exige une régularité dans les deux sens ; une application seulement analytique ou seulement bijective ne remplit pas, à elle seule, toutes les conditions.

Dans une variable complexe, lorsque f est holomorphe près d'un nombre complexe p, le critère usuel est que sa dérivée en p ne soit pas nulle : $f^{\mathrm{\prime }}(p)\mathrm{\ne }0f\text{'}(p)\backslash neq\; 0$. En plusieurs variables de même dimension, la dérivée est une application linéaire ; son déterminant jacobien doit être non nul. Le théorème d'inversion locale fournit alors les voisinages et l'inverse analytique.

En géométrie algébrique, la formulation parallèle porte sur un morphisme : il est birégulier en p lorsqu'il devient un isomorphisme de variétés après restriction à des voisinages appropriés. Si aucun tel voisinage n'existe, p est un point non birégulier pour ce morphisme ; selon le contexte, cet échec peut venir d'un point critique ou d'un autre défaut d'isomorphisme local. Il ne signifie pas à lui seul que p est un point singulier de la variété.

Considérons le nombre complexe z, l'application f définie par $f(z)=z^{2}f(z)=z^2$ et le point p = 1. Les données sont donc p = 1 et f(p) = 1.

1. Dérivons l'application : $f^{\mathrm{\prime }}(z)=2zf\text{'}(z)=2z$.
2. Évaluons la dérivée au point choisi : f′(1) = 2.
3. Comme 2 ≠ 0, le critère d'inversion locale est satisfait.
4. Restreignons-nous, par exemple, au disque de centre 1 et de rayon 0,2. Ce disque ne contient jamais à la fois un nombre et son opposé ; l'égalité z₁² = z₂² impose donc z₁ = z₂.

Le point 1 est birégulier pour f. Le contrôle est refaisable : la dérivée vaut bien 2, tandis qu'au point 0 elle vaudrait 0. La figure matérialise l'image calculée du bord du disque choisi.

Pour étudier une application holomorphe d'une variable, on calcule sa dérivée au point visé. Une valeur non nulle autorise un changement de coordonnées local réversible ; une valeur nulle oblige à examiner la ramification ou la singularité au lieu d'invoquer l'inversion locale.

En plusieurs variables complexes de même dimension, on forme la matrice jacobienne au point. Un déterminant non nul fait préférer les coordonnées transportées par l'application ; un déterminant nul signale que ce choix local de coordonnées n'est pas justifié.

En géométrie algébrique, on cherche des voisinages sur lesquels le morphisme et son inverse sont réguliers. Si cette réciprocité locale échoue, il faut décrire séparément les fibres, les points exceptionnels ou les singularités au lieu de parler d'isomorphisme local.

Point régulier d'un arc paramétré. Pour un arc, la régularité se teste d'abord avec un vecteur dérivé non nul ; certaines conventions appellent birégulier un point où les deux premières dérivées sont indépendantes. Ce sens concerne la courbure d'un paramétrage, pas l'existence d'un inverse analytique local.

Bijection globale. La birégularité en un point ne demande une bijection que sur des voisinages. L'application z ↦ z² est birégulière au point 1, bien qu'elle ne soit pas injective sur tout le plan complexe puisque 1 et −1 ont la même image.

Régularité dans un seul sens. Une transformation peut être bijective comme application d'ensembles sans être analytique avec un inverse analytique. La conjugaison complexe z ↦ z̄ est bijective, mais elle n'est pas holomorphe ; elle n'est donc pas un biholomorphisme.

Dérivée nulle. Pour f(z) = z², le point 0 est le cas charnière : f′(0) = 0. Tout voisinage de 0 contient des nombres opposés de même image, donc on ne peut pas y définir un inverse analytique unique. Il faut étudier ce point comme un point ramifié plutôt que comme un point birégulier.

Dimensions incompatibles. Le critère du déterminant jacobien suppose des espaces complexes de même dimension. Si les dimensions diffèrent, la matrice n'est pas carrée et aucun déterminant non nul ne peut certifier un biholomorphisme local ; il faut alors employer un critère d'immersion ou de submersion adapté.

Choix d'une branche. Une formule inverse telle que la racine carrée n'est pas univoque sur tout le plan complexe. Près de l'image de 1, on retient la branche qui renvoie 1 ; prétendre utiliser simultanément les deux racines détruirait l'unicité locale requise.

La fiche fonction holomorphe précise la régularité complexe exigée de l'application et de son inverse local.

La fiche Isomorphisme (théorème d') replace l'idée de transformation réversible dans un cadre structurel plus général.