AnalyseNotion · Glossaire
Point singulier
Un paramétrage d'une courbe ou d'une surface est singulier en une valeur du paramètre lorsque sa dérivée s'annule (pour une courbe) ou que ses dérivées partielles sont liées (pour une surface). Au point correspondant, les méthodes usuelles fondées sur ces dérivées ne déterminent alors pas directement une tangente ou un plan tangent, qui peut néanmoins exister par une autre étude locale. En analyse complexe, un point singulier d'une fonction holomorphe est un point en lequel la fonction n'est pas holomorphe. Les singularités isolées se classifient en singularités effaçables, pôles et singularités essentielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la perte de rang d'un paramétrage de courbe ou de surface.
- Vérifier sur la cuspide γ(t) = (t², t³) qu'une dérivée nulle n'interdit pas nécessairement une tangente.
- Distinguer singularité effaçable, pôle et singularité essentielle dans le cas isolé.
- Éviter de confondre singularité du paramétrage, point critique et point anguleux.
En clair
Imaginez un crayon qui trace une courbe. À certains instants, son vecteur vitesse devient nul : le procédé habituel ne donne alors plus la direction de la tangente. Le point atteint est singulier pour ce paramétrage. Sur une surface, le même problème apparaît lorsque les deux directions données par les paramètres cessent d'être indépendantes.
Pour une fonction complexe, le mot signale plutôt un endroit où l'holomorphie échoue. Si cet endroit est isolé, le comportement voisin permet de distinguer trois cas : singularité effaçable, pôle ou singularité essentielle.
Définition
Pour une courbe paramétrée, notons γ la fonction qui associe au paramètre réel t un point du plan ou de l'espace. Le point γ(t0) est singulier pour ce paramétrage lorsque le vecteur dérivé γ′(t0) est nul. La tangente ne peut donc pas être obtenue directement par la direction de ce vecteur. Pour une surface paramétrée par deux variables u et v, un point est singulier lorsque les deux vecteurs dérivés partiels sont liés ; de façon équivalente dans l'espace usuel, leur produit vectoriel est nul. Le paramétrage n'a alors pas le rang requis pour fournir le plan tangent par la méthode ordinaire.
Cette singularité concerne d'abord le paramétrage. La courbe géométrique peut encore posséder une tangente, obtenue par une étude de limite ou par un autre paramétrage régulier.
En analyse complexe, soit a un point et soit f une fonction holomorphe dans un voisinage poncturé de a, mais pas nécessairement en a. La singularité isolée en a est effaçable si f se prolonge en une fonction holomorphe en a ; c'est un pôle si la valeur absolue de f tend vers l'infini avec un ordre fini ; elle est essentielle dans le troisième cas. Cette classification ne s'applique qu'aux singularités isolées.
Un exemple, pas à pas
Considérons la courbe du plan définie par le paramètre réel t et par .
Données : le paramètre étudié est t0 = 0 ; le point correspondant est γ(0) = (0, 0) ; la dérivée se calcule coordonnée par coordonnée.
Données : le paramètre étudié est t0 = 0 ; le point correspondant est γ(0) = (0, 0) ; la dérivée se calcule coordonnée par coordonnée.
1. Dériver les deux coordonnées : .
2. Évaluer en zéro : γ′(0) = (0, 0). Le point (0, 0) est donc singulier pour ce paramétrage.
3. Pour t non nul, la pente de la sécante joignant l'origine à γ(t) vaut t³/t² = t.
4. Faire tendre t vers 0 : cette pente tend vers 0. La courbe possède malgré tout l'axe horizontal pour tangente en sa cuspide.
2. Évaluer en zéro : γ′(0) = (0, 0). Le point (0, 0) est donc singulier pour ce paramétrage.
3. Pour t non nul, la pente de la sécante joignant l'origine à γ(t) vaut t³/t² = t.
4. Faire tendre t vers 0 : cette pente tend vers 0. La courbe possède malgré tout l'axe horizontal pour tangente en sa cuspide.
Le contrôle se refait sans dérivation : les coordonnées vérifient y² = x³ avec x ≥ 0. Les deux branches approchent l'origine avec une pente de valeur absolue de plus en plus petite. La figure rend visibles ces directions limites communes.
En pratique
Pour étudier une courbe paramétrée, on calcule d'abord son vecteur dérivé. S'il est non nul, sa direction fournit la tangente. S'il s'annule, on examine les premiers termes non nuls ou les limites des directions sécantes, comme pour γ(t) = (t², t³).
Pour une surface paramétrée, on compare les deux vecteurs dérivés partiels. S'ils sont indépendants, leur plan est le plan tangent usuel. S'ils sont liés, il faut étudier localement la surface ou changer de paramétrage au lieu d'utiliser leur produit vectoriel comme normale.
Pour une fonction complexe, on vérifie d'abord qu'elle est holomorphe dans un voisinage poncturé du point : la singularité est alors isolée. On cherche ensuite si elle se prolonge, si elle diverge comme une puissance finie, ou si aucun de ces deux diagnostics ne convient.
À ne pas confondre
Point singulier d'une courbe et point critique d'une fonction réelle. Le premier concerne la dérivée d'un paramétrage vectoriel ; le second concerne l'annulation ou le défaut de définition de la dérivée d'une fonction scalaire. Pour γ(t) = (t², t³), le paramètre t = 0 produit un point singulier de la courbe paramétrée, sans constituer pour autant un extremum d'une fonction y = f(x).
Point singulier et point anguleux. Un angle peut présenter deux demi-tangentes distinctes alors qu'un paramétrage adapté possède des vitesses latérales non nulles. À l'inverse, γ′(0) est nul pour la cuspide γ(t) = (t², t³), mais ses deux branches ont la même tangente horizontale. Le test décisif porte donc sur le cadre et sur la dérivée considérée.
Limites et pièges
Dérivée nulle ne signifie pas absence de tangente. Pour γ(t) = (t², t³), la formule habituelle échoue en t = 0, mais les pentes des sécantes tendent vers 0. Il faut calculer cette limite avant de conclure.
La singularité peut venir du paramétrage. Un tracé géométrique régulier peut être parcouru avec une vitesse nulle à un instant. Il faut distinguer le point de l'image et la manière dont il est paramétré, puis chercher si un paramétrage régulier existe localement.
Des dérivées partielles liées ne décrivent pas à elles seules la forme locale. Pour une surface, leur dépendance signale une perte de rang, mais ne décide ni de l'existence d'un autre paramétrage ni de la géométrie exacte. Une étude locale supplémentaire est nécessaire.
Toute singularité complexe n'est pas isolée. La classification en singularité effaçable, pôle ou singularité essentielle suppose un voisinage poncturé où la fonction est holomorphe. Si d'autres singularités s'accumulent au point étudié, ce classement ne s'applique pas directement.
Pour aller plus loin
La fiche fonction holomorphe précise la régularité complexe qui doit être satisfaite autour d'une singularité isolée.
L'analyse complexe replace les singularités effaçables, les pôles et les singularités essentielles dans leur cadre général.
La fiche singularité élargit la perspective aux différents sens mathématiques du défaut de régularité.
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