GéométrieNotion · Glossaire
Nappe paramétrée
Une nappe paramétrée est une surface dans l'espace à trois dimensions définie par une application différentiable d'un ouvert U de R^2 vers R^3, notée (u, v) -> (x(u,v), y(u,v), z(u,v)). On requiert généralement que l'application soit régulière, c'est-à-dire que les vecteurs tangents partiels soient linéairement indépendants, ce qui garantit, pour chaque couple (u, v), l'existence d'un plan tangent à la branche paramétrée correspondante. Les nappes paramétrées sont l'outil fondamental de la géométrie différentielle des surfaces, permettant de calculer longueurs, aires et courbures.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier deux paramètres aux points d’une surface de l’espace.
- Tester la régularité avec deux vecteurs tangents et leur produit vectoriel.
- Calculer pas à pas le plan tangent d’un paraboloïde.
- Repérer les pertes de régularité, auto-intersections et recouvrements multiples.
En clair
Imaginez une feuille souple sur laquelle chaque point porte deux coordonnées, u et v. En donnant à chaque couple (u, v) une position (x, y, z), on déploie cette feuille dans l’espace : elle peut devenir un plan, un cylindre ou une surface courbe.
Les deux paramètres indiquent deux directions de déplacement sur la surface. Si ces directions restent linéairement indépendantes, elles déterminent localement un plan qui touche la nappe. Le paramétrage transforme ainsi des calculs à deux variables en informations géométriques sur une surface.
Définition
Soit U un ouvert du plan R2. Une nappe paramétrée est l’image d’une application différentiable r qui associe à chaque couple de paramètres (u, v) de U un point de l’espace R3. Ses trois coordonnées sont données par des fonctions x, y et z : . Le domaine U décrit les valeurs autorisées des paramètres ; son image est la surface parcourue.
Les dérivées partielles de r par rapport à u et à v donnent deux vecteurs tangents, notés et . Le paramétrage est régulier en un couple (u, v) lorsque ces vecteurs sont linéairement indépendants. Dans R3, cette condition équivaut à . Ils engendrent alors le plan tangent, tandis que leur produit vectoriel en fournit un vecteur normal.
Une même surface peut admettre plusieurs paramétrages, et un paramétrage peut parcourir plusieurs fois certains points. La régularité est une propriété locale du paramétrage : elle n’impose ni que l’application soit injective, ni que toute la surface soit décrite par une seule nappe. La norme de donne le facteur local utilisé dans le calcul des aires ; les dérivées suivantes interviennent dans l’étude des courbures.
Un exemple, pas à pas
Considérons le paraboloïde obtenu avec deux paramètres réels u et v. Les données sont le paramétrage et le couple choisi (1/2, 1/2). Nous allons déterminer le point correspondant, ses directions tangentes et son plan tangent.
1. Remplaçons u et v par 1/2. Le point de la nappe est .
2. Dérivons selon chaque paramètre, puis évaluons au point choisi : et .
3. Leur produit vectoriel vaut . Sa norme est √3, donc il n’est pas nul : le paramétrage est régulier en P.
4. Le plan passant par P et normal au vecteur (-1, -1, 1) a pour équation . Pour contrôler le résultat, P vérifie bien cette équation, et les produits scalaires du vecteur normal avec les deux vecteurs tangents valent chacun zéro.
En pratique
Pour décrire une surface donnée par une équation explicite z = f(x, y), on choisit souvent x et y comme paramètres. Ce choix est direct tant que la surface est bien le graphe d’une fonction ; une autre carte devient nécessaire près d’une partie verticale.
Pour trouver un plan tangent, on dérive le paramétrage dans les deux directions. Si le produit vectoriel obtenu n’est pas nul, ses deux dérivées engendrent le plan et leur produit vectoriel donne une normale.
Pour calculer une aire, on multiplie l’élément du plan des paramètres par le facteur , puis on l’intègre sur le domaine choisi. Si le paramétrage recouvre plusieurs fois la même zone, il faut d’abord limiter le domaine ou tenir compte de cette multiplicité.
À ne pas confondre
Nappe paramétrée et surface implicite. Une nappe donne directement les coordonnées d’un point à partir de (u, v), tandis qu’une surface implicite est décrite par une relation F(x, y, z) = 0. Le paraboloïde de l’exemple s’écrit des deux façons, mais une équation implicite ne fournit pas automatiquement des paramètres.
Nappe et courbe paramétrée. Une courbe dépend d’un seul paramètre et, en un point régulier, son vecteur dérivé non nul donne une direction tangente ; une nappe dépend de deux paramètres et possède deux directions tangentes indépendantes aux points réguliers.
Nappe et surface géométrique. La nappe comprend une règle de parcours, pas seulement l’ensemble des points obtenus. Deux paramétrages peuvent avoir la même image tout en utilisant des coordonnées, une orientation ou une multiplicité différentes.
Limites et pièges
Perte de régularité. Si , les deux directions tangentes deviennent dépendantes ou l’une s’annule. Le paramétrage ne fournit alors plus un plan tangent à deux dimensions par cette méthode ; il faut changer de paramétrage ou étudier le point séparément.
Auto-intersection. Deux couples de paramètres distincts peuvent produire le même point de l’espace. Chacun peut donner son propre plan tangent : parler du plan tangent au point sans préciser la branche devient ambigu. Il faut conserver l’information du couple (u, v).
Recouvrement multiple. La régularité locale n’empêche pas qu’une région soit parcourue deux fois ou davantage. Une intégrale sur tout le domaine compterait alors l’aire avec multiplicité ; on restreint le domaine à une zone parcourue une seule fois lorsque l’on veut l’aire géométrique de l’image.
Une seule carte ne suffit pas toujours. Certaines surfaces ne se décrivent pas régulièrement et sans couture par un unique domaine ouvert du plan. On les couvre par plusieurs nappes compatibles, comme plusieurs cartes locales d’un même objet.
Pour aller plus loin
Le plan tangent prolonge naturellement l’étude locale d’une nappe : ses deux directions tangentes donnent l’approximation plane de la surface au voisinage d’un point régulier.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres