plan tangent

Imaginez une petite plaque plane posée sur une surface lisse au point P. Si la plaque est correctement inclinée, elle accompagne la surface au tout début de chaque déplacement depuis P. Elle ne reproduit pas les courbures, mais elle en donne le meilleur équivalent plat à très petite échelle.

Ce plan est le plan tangent. Plus on regarde près de P, plus l'écart entre la surface et ce plan devient petit par rapport au déplacement effectué.

Soit une surface lisse donnée comme le graphe d'une fonction de deux variables : la hauteur z vaut f(x, y). Au point P de coordonnées (a, b, f(a, b)), le plan tangent est l'unique plan qui possède les mêmes variations de premier ordre que la surface. Les dérivées partielles de f par rapport à x et à y doivent exister et former une approximation différentielle au voisinage de (a, b).

Son équation est $z=f(a,b)+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(a,b)(x-a)+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(a,b)(y-b)z=f(a,b)+\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}(a,b)(x-a)+\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}(a,b)(y-b)$. Les deux dérivées partielles fixent l'inclinaison du plan dans les directions des axes x et y. Tout vecteur tangent à la surface en P appartient à ce plan.

Pour une surface décrite implicitement par F(x, y, z) = 0, le gradient de F au point P fournit un vecteur normal au plan, à condition que ce gradient ne soit pas nul. Le plan est alors défini par $\mathrm{\nabla }F(P)\cdot ((x,y,z)-P)=0\backslash nabla\; F(P)\backslash mathbin\{\backslash cdot\}((x,y,z)-P)=0$.

La construction réunit quatre éléments. La surface est l'objet courbe étudié. Le point de contact P fixe l'endroit où l'on veut une description locale. Deux directions tangentes indépendantes décrivent les déplacements possibles sur la surface depuis P. Enfin, un vecteur normal, perpendiculaire à ces deux directions, détermine l'inclinaison du plan.

Les directions tangentes sont basées en P et doivent engendrer un espace de dimension deux ; le plan affine passant par P et dirigé par cet espace est alors le plan tangent. Le vecteur normal donne le même plan par une équation orthogonale. Changer l'échelle ou le tracé de la figure ne change pas cet objet. Ces données suffisent à construire son équation et à calculer une hauteur approchée près de P.

Considérons la surface dont la hauteur est donnée par $z=x^2+y^{2}z=x^2+y^2$. Le point choisi a pour coordonnées P = (1, 2, 5), car 1² + 2² = 5. Les données sont donc a = 1, b = 2 et f(a, b) = 5.

1. On calcule les pentes selon x et y : $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(1,2)=2\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}(1,2)=2$ et $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(1,2)=4\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}(1,2)=4$.
2. On les place dans l'équation du plan : $z=5+2(x-1)+4(y-2)z=5+2(x-1)+4(y-2)$.
3. Après réduction, le plan tangent a pour équation $z=2x+4y-5z=2x+4y-5$.

La coupe verticale y = 2 rend le contact visible : la surface devient z = x² + 4 et le plan donne la droite z = 2x + 3. Pour contrôler l'approximation au point (1,1 ; 1,9), la surface vaut exactement 4,82 et le plan 4,80. L'écart est donc 0,02.

Près du point P, le plan tangent remplace une surface compliquée par une expression affine. Dans l'exemple, on estime ainsi une hauteur proche de (1, 2) avec 2x + 4y − 5. Si le point est éloigné, on revient à la formule exacte x² + y².

Pour orienter un objet ou étudier un mouvement contraint sur une surface, on utilise les directions contenues dans le plan tangent. Lorsqu'une direction perpendiculaire est nécessaire, par exemple pour mesurer une inclinaison, on choisit plutôt le vecteur normal.

Dans un calcul, le plan tangent sert aussi de contrôle local : il doit passer par P et reproduire les deux pentes partielles en ce point. L'échec de l'un de ces tests signale une erreur de dérivation ou de substitution.

Une droite tangente ne contient qu'une direction de contact, tandis qu'un plan tangent rassemble toutes les directions tangentes à une surface régulière en P. Sur z = x² + y² au point (1, 2, 5), fixer une direction dans le plan donne une droite ; deux directions indépendantes déterminent le plan entier.

Un plan sécant coupe la surface sans en reproduire nécessairement les variations locales. Le test décisif consiste à comparer les pentes au point P : le plan tangent possède les mêmes pentes de premier ordre, un plan sécant quelconque non.

Un plan normal à la surface en P passe par P et contient une direction normale à la surface ; il est donc perpendiculaire au plan tangent. Dans l'exemple, la direction du vecteur normal (2, 4, −1) est contenue dans tout plan normal passant par P construit autour de cette direction.

Au sommet d'un cône, plusieurs directions limites peuvent apparaître sans former un unique plan tangent. Le symptôme est la dépendance du plan obtenu au chemin d'approche. Il faut alors décrire le cône des directions tangentes ou étudier séparément les chemins, plutôt que d'imposer un plan unique.

Pour une équation implicite F = 0, la formule fondée sur le gradient cesse de déterminer un plan lorsque le gradient est nul. Cette annulation est un signal d'alarme, pas la preuve qu'aucun plan tangent n'existe. Il faut revenir à une paramétrisation régulière ou à la définition locale de la surface.

L'expression « point double » décrit un contact avec multiplicité dans un cadre algébrique ou une approximation d'ordre supérieur ; elle ne signifie pas toujours que l'intersection dessine deux branches visibles. Pour un paraboloïde elliptique, le plan tangent peut ne rencontrer localement la surface qu'au point P.

L'approximation est locale. Dans l'exemple, le déplacement de (1, 2) à (1,1 ; 1,9) produit un écart de 0,02, mais cet écart augmente avec la distance au point de contact. Pour une estimation lointaine, il faut employer la surface exacte ou une approximation d'ordre supérieur.

La fiche Dérivée partielle montre comment calculer séparément les deux pentes qui déterminent le plan tangent d'un graphe.

La fiche Différentielle prolonge l'idée d'approximation linéaire locale et explique le cadre qui relie petites variations et applications linéaires.