GéométrieObjet géométrique · Glossaire
plan normal à une surface
Pour une surface de l'espace, on appelle plan normal en un point donné tout plan passant par ce point et perpendiculaire au plan tangent à la surface en ce même point. Autrement dit, un plan normal contient la normale à la surface (la droite perpendiculaire au plan tangent). La normale à la surface est précisément la droite obtenue comme intersection de tous les plans normaux en un point donné.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un plan normal au plan tangent et à la droite normale.
- Construire une famille de plans normaux au sommet d'un paraboloïde.
- Distinguer plan normal, droite normale et plan tangent.
- Reconnaître les hypothèses de régularité et le défaut d'unicité.
En clair
Imaginez une surface lisse posée sous une feuille qui la touche en un point. Cette feuille représente le plan tangent. Une droite dressée à angle droit traverse la feuille au point de contact : c'est la normale à la surface.
Tout plan qui pivote autour de cette droite est un plan normal. Il passe toujours par le point de contact et reste perpendiculaire au plan tangent. Il n'y en a donc pas un seul, mais toute une famille.
Définition
Soit une surface régulière S et un point P de cette surface. La régularité en P garantit l'existence d'un plan tangent unique, noté TPS. Un plan N est normal à S en P s'il passe par P et s'il est perpendiculaire à TPS. Cette condition équivaut à dire que N contient la droite normale à S en P.
Si la surface est donnée près de P par une équation F(x, y, z) = 0 et si le gradient de F en P n'est pas nul, ce gradient fournit une direction normale. En notant ce vecteur , la droite normale est . Tous les plans qui contiennent cette droite sont des plans normaux. Leur intersection commune est exactement la droite normale.
Le plan normal n'est donc pas déterminé par le seul point P : il reste à choisir une direction dans le plan tangent. Ce choix fixe l'orientation du plan autour de la droite normale.
De quoi c'est fait
Quatre éléments organisent la construction. La surface fournit le support et le point P fixe le lieu de contact. Le plan tangent décrit les directions tangentes à la surface en P. La droite normale passe par P et est perpendiculaire à ce plan tangent. Enfin, un plan normal est choisi parmi les plans qui contiennent cette droite.
Le point et le plan tangent déterminent la droite normale. Cette droite, associée à une direction tangente choisie, détermine alors un plan normal unique. La couleur, l'étendue du dessin ou le sens choisi sur la droite normale ne changent pas le plan géométrique. Ces données suffisent à construire le plan et à calculer son équation.
Un exemple, pas à pas
Considérons le paraboloïde S d'équation z = x2 + y2 et son sommet O de coordonnées (0, 0, 0). On pose F(x, y, z) = x2 + y2 − z. Les données sont donc la surface S, le point O et la fonction F dont S est l'ensemble de niveau zéro.
1. Le gradient de F vaut . Au point O, il vaut exactement (0, 0, −1).
2. Le plan tangent en O est donc z = 0, et la droite normale est l'axe défini par x = 0 et y = 0.
3. Le plan x = 0 contient cet axe : c'est un plan normal. Le plan y = 0 en est un autre.
4. Plus généralement, chaque équation définit un plan normal en O.
2. Le plan tangent en O est donc z = 0, et la droite normale est l'axe défini par x = 0 et y = 0.
3. Le plan x = 0 contient cet axe : c'est un plan normal. Le plan y = 0 en est un autre.
4. Plus généralement, chaque équation définit un plan normal en O.
Le contrôle est direct : les plans x = 0 et y = 0 se coupent suivant x = y = 0, qui est bien la droite normale. La figure rend visibles le plan tangent z = 0, le plan normal x = 0, leur droite d'intersection tangente et la normale qui les traverse en O.
En pratique
Pour tracer une coupe de la surface dans une direction donnée, on choisit le plan normal qui contient cette direction tangente. Son intersection avec la surface donne une section normale. Une autre direction tangente impose un autre plan normal.
Avec une surface donnée par une équation, on calcule d'abord une direction normale au point étudié. On ajoute ensuite une direction tangente correspondant à la coupe souhaitée. Ces deux directions engendrent le plan normal recherché.
Si l'objectif est seulement d'approcher localement la surface, le plan tangent est l'outil adapté. Le plan normal devient préférable lorsque l'on veut observer un profil qui quitte le plan tangent dans la direction normale.
À ne pas confondre
Droite normale et plan normal. La droite normale est unique en un point régulier, tandis qu'une infinité de plans normaux la contiennent. Au sommet du paraboloïde, x = y = 0 définit la droite ; x = 0 définit l'un des plans.
Plan tangent et plan normal. Le plan tangent est perpendiculaire à la droite normale ; un plan normal contient cette droite. Dans l'exemple, z = 0 est tangent, alors que x = 0 est normal.
Plan normal à une courbe et plan normal à une surface. Pour une courbe régulière de l'espace, le plan normal est perpendiculaire à la tangente et il est unique. Pour une surface régulière, les plans normaux forment une famille autour de la droite normale.
Limites et pièges
Point non régulier. Si la surface ne possède pas de plan tangent unique au point considéré, la définition ne fournit ni droite normale unique ni famille de plans normaux. Il faut d'abord préciser une branche lisse ou une autre notion de tangence.
Fausse unicité. La condition « perpendiculaire au plan tangent » ne sélectionne pas un seul plan. Le symptôme est qu'une rotation autour de la droite normale conserve la condition. Il faut ajouter une direction tangente pour fixer un plan particulier.
Choix du signe. Un vecteur normal et son opposé définissent la même droite normale, donc les mêmes plans normaux. Le signe devient pertinent seulement si une orientation de la surface est exigée ; il ne change pas les plans eux-mêmes.
Pour aller plus loin
plan tangent. Cette notion précise le plan local auquel tout plan normal doit être perpendiculaire.
Vecteur normal orienté. Ce prolongement montre ce que le choix d'un sens ajoute à la direction normale non orientée.
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