plan normal

Imaginez un fil qui serpente dans l’espace et choisissez un point sur ce fil. La tangente indique la direction suivie par le fil à cet instant. Le plan normal est comme une feuille plate traversée par le fil au point choisi, placée perpendiculairement à cette direction.

Toutes les directions tracées sur cette feuille et partant du point choisi forment un angle droit avec la tangente. La feuille peut contenir plusieurs directions normales : dans l’espace, il n’existe pas une seule droite perpendiculaire à la tangente.

Soit une courbe de l’espace décrite par un vecteur position $r(t)r(t)$, et soit P le point obtenu pour la valeur $t=t_{0}t=t\_0$. Si le vecteur dérivé $r^{\mathrm{\prime }}(t_0)r\text{'}(t\_0)$ est non nul, il dirige la tangente à la courbe en P. Le plan normal en P est l’unique plan affine passant par P dont ce vecteur tangent est un vecteur normal.

Un point M appartient donc au plan normal exactement lorsque le vecteur allant de P à M est orthogonal au vecteur tangent. Cette condition s’écrit avec le produit scalaire : $(M-P)\cdot r^{\mathrm{\prime }}(t_0)=0(M-P)\backslash cdot\; r\text{'}(t\_0)=0$. Elle décrit toutes les droites issues de P dont une direction est perpendiculaire à la tangente.

Multiplier le vecteur tangent par un nombre non nul ne change pas le plan. Une autre paramétrisation régulière de la même courbe fournit donc le même plan normal au même point géométrique.

Quatre éléments déterminent le plan normal. La courbe fournit le trajet local. Le point P fixe l’endroit où le plan doit passer. Le vecteur tangent non nul donne la direction instantanée de la courbe. Enfin, le plan réunit les directions issues de P qui sont orthogonales à ce vecteur.

Le point seul ne fixe pas l’inclinaison du plan, tandis que la direction tangente seule ne fixe pas sa position. Ensemble, P et cette direction déterminent un unique plan affine. Le sens choisi sur la tangente, l’échelle du dessin et la façon de paramétrer la courbe ne font pas partie de la définition.

Considérons l’hélice décrite par le vecteur position $r(t)=(\cos t,\sin t,t)r(t)=(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t,t)$. Nous cherchons son plan normal pour la valeur du paramètre t égale à 0. Les données sont la courbe, la valeur t = 0 et le point P correspondant.

1. On évalue la position : $P=r(0)=(1,0,0)P=r(0)=(1,0,0)$.
2. On dérive la position : $r^{\mathrm{\prime }}(t)=(-\sin t,\cos t,1)r\text{'}(t)=(-\backslash sin\; t,\backslash cos\; t,1)$.
3. En t = 0, le vecteur tangent vaut $r^{\mathrm{\prime }}(0)=(0,1,1)r\text{'}(0)=(0,1,1)$.
4. Pour un point M de coordonnées (x, y, z), on impose l’orthogonalité entre M − P et ce vecteur tangent.

Le calcul donne $(x-1,y,z)\cdot (0,1,1)=y+z(x-1,y,z)\backslash cdot(0,1,1)=y+z$. Le plan normal a donc pour équation $y+z=0y+z=0$. Le point Q de coordonnées (1, 1, −1) sert de contrôle : Q − P vaut (0, 1, −1), et son produit scalaire avec (0, 1, 1) vaut exactement 0.

Pour déterminer le plan normal d’une courbe paramétrée, on calcule d’abord le point et un vecteur tangent non nul. Ce vecteur devient le vecteur normal du plan, puis le passage par le point fixe l’équation.

Pour tester un point candidat, on forme le vecteur qui part du point de la courbe et arrive au candidat. Un produit scalaire nul avec le vecteur tangent confirme que le candidat appartient au plan normal.

Si l’on veut plutôt décrire la courbe au voisinage du point, la tangente est l’outil direct. Le plan normal devient pertinent lorsque l’on étudie les directions transversales à cette tangente.

Le plan osculateur contient la tangente et, lorsque la courbure est non nulle, la normale principale. Le plan normal est au contraire perpendiculaire à la tangente. Une direction tangente appartient donc au premier, mais pas au second.

Le plan tangent à une surface régulière en un point rassemble les directions tangentes à cette surface en ce point. Le plan normal d’une courbe est défini à partir d’une seule direction tangente et lui est perpendiculaire. Une même courbe posée sur des surfaces différentes garde son plan normal, mais ces surfaces peuvent avoir des plans tangents différents.

Une droite normale est seulement une droite du plan normal passant par P. Dans l’espace, il y en a une infinité. La normale principale n’en sélectionne une que lorsque la courbe possède une courbure non nulle au point considéré.

Si le vecteur dérivé s’annule pour le paramétrage choisi, il ne fournit aucune direction tangente et l’équation du plan normal ne peut pas être écrite avec ce vecteur. Il faut chercher une paramétrisation régulière ou établir séparément l’existence d’une tangente géométrique.

À un angle ou à un point où deux branches ont des tangentes différentes, il n’existe pas de plan normal unique attaché à la courbe entière. Il faut préciser la branche ou la tangente considérée.

Une courbure nulle n’empêche pas le plan normal d’exister. Pour une droite régulière, la tangente est parfaitement définie et un plan normal unique passe par chaque point, même si la normale principale n’est pas déterminée par la courbure.

Le dessin en perspective peut faire croire que le plan et la tangente ne forment pas un angle droit. Le contrôle fiable reste algébrique : chaque direction du plan doit avoir un produit scalaire nul avec le vecteur tangent.

Le plan osculateur complète la comparaison des plans associés à une courbe en contenant sa tangente et, lorsque la courbure est non nulle, sa normale principale.

Le trièdre introduit un repère de trois directions, utile pour organiser tangente, normale principale et binormale le long d’une courbe.

Le plan tangent aide à distinguer la géométrie locale d’une surface de celle d’une courbe de l’espace.