GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Meusnier
Pour une courbe régulière de classe C² tracée sur une surface régulière, en un point où sa courbure et celle de la section normale associée sont non nulles, le théorème de Meusnier affirme que le centre de courbure de la courbe est la projection orthogonale, sur son plan osculateur, du centre de courbure de cette section normale. Il relie ainsi la courbure de la courbe à celle de la surface dans la direction tangente et permet de retrouver l’un de ces centres à partir de l’autre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la courbure de la courbe à la courbure normale par l'angle entre les normales.
- Construire le centre de courbure comme projection du centre de la section normale.
- Refaire un calcul exact avec un rayon de 5 cm et un angle de 60°.
- Reconnaître les cas où un centre fini ou un plan osculateur manque.
En clair
Imaginez une courbe dessinée sur une surface. Au point M, sa tangente fixe une direction. En coupant la surface par le plan qui contient cette tangente et la normale à la surface, on obtient une section normale, plus simple à étudier.
Le théorème de Meusnier relie les deux courbures. Le centre de courbure de la courbe dessinée s'obtient en projetant orthogonalement celui de la section normale sur le plan osculateur de la courbe. L'inclinaison entre les deux plans explique pourquoi leurs rayons de courbure diffèrent.
Définition
Le théorème de Meusnier concerne une courbe régulière C tracée sur une surface régulière S. En un point M, la tangente à C et la normale à S déterminent le plan normal. L'intersection locale de ce plan avec S est la section normale associée à la direction tangente. Le plan engendré par la tangente et la normale principale de C est le plan osculateur de C.
Notons κ la courbure de C, κn la courbure normale de S dans la direction de la tangente et θ l'angle entre la normale principale de C et la normale choisie à S. Avec des orientations compatibles, la relation de Meusnier est :
La courbure normale dépend de la surface et de la direction tangente, tandis que κ dépend aussi de la manière dont C se détourne dans la surface.
Lorsque les centres de courbure sont finis, le centre de la section normale se projette orthogonalement sur le plan osculateur au centre de courbure de C. Ainsi, deux courbes de S ayant en M la même tangente et le même plan osculateur non tangent à S ont le même centre de courbure. Le résultat est attribué à Jean-Baptiste Meusnier.
Le principe
Soit C une courbe régulière tracée sur une surface régulière S, et soit M un point où la courbure de C et la courbure de la section normale associée sont non nulles. Si θ désigne l'angle entre la normale principale de C et la normale à S, alors :
De façon géométrique, le centre de courbure de C est la projection orthogonale du centre de courbure de la section normale sur le plan osculateur de C. En particulier, même tangente et même plan osculateur non tangent à S entraînent le même centre de courbure.
Quand l'utiliser
La surface S doit être suffisamment régulière pour posséder un plan tangent, une normale et une courbure normale en M. La courbe C doit être régulière et au moins deux fois différentiable au voisinage de M. Sa courbure doit être non nulle pour que sa normale principale, son plan osculateur et son centre de courbure soient définis. La section normale utilise précisément le plan contenant la tangente à C et la normale à S.
Si la courbure normale vaut zéro, la section normale n'a pas de centre de courbure fini : la projection de centres ne peut plus être effectuée telle quelle. C'est notamment le blocage rencontré dans une direction asymptotique. Il faut alors employer la relation entre composantes de courbure ou étudier directement la courbe, au lieu d'invoquer une construction avec deux centres finis.
Un exemple, pas à pas
Au point M d'une surface, considérons une direction tangente dont la section normale a un rayon de courbure de 5 cm. Une courbe C suit cette direction, et sa normale principale fait un angle de 60° avec la normale à la surface. Les courbures sont prises en valeur absolue.
Données : rayon de la section normale, 5 cm ; angle θ, 60° ; donc courbure normale κn = 1/5 cm−1. La coupe associée représente le centre Q de la section normale et sa projection P sur la direction normale à C dans le plan osculateur.
1. La relation de Meusnier donne :
2. Le rayon de courbure de C est l'inverse de cette courbure :
3. Géométriquement, la longueur MP est la projection de la longueur MQ sur la normale principale de C : . Le calcul et la projection donnent donc le même rayon.
Le contrôle est immédiat : , ce qui restitue exactement la courbure normale annoncée.
En pratique
Dans un calcul de géométrie différentielle, on détermine d'abord la courbure normale de la surface dans la direction suivie, puis l'angle entre les deux normales. Le théorème fournit alors la courbure de la courbe. Si une paramétrisation explicite de la courbe est disponible, la dérivation directe constitue une alternative et sert de contrôle.
Dans une construction géométrique, on repère le centre de courbure de la section normale, puis on le projette sur le plan osculateur de la courbe. Cette méthode est préférable lorsque les plans et le centre normal sont déjà connus. Si la courbure normale est nulle ou si le plan osculateur n'est pas défini, il faut revenir aux composantes du vecteur courbure.
À ne pas confondre
Courbure de la courbe et courbure normale. La courbure κ décrit toute la rotation de la tangente de C dans l'espace. La courbure normale κn n'en retient que la composante selon la normale à la surface. Dans l'exemple, elles valent respectivement 2/5 cm−1 et 1/5 cm−1.
Plan osculateur et plan tangent. Le plan osculateur est attaché à la courbe et contient sa tangente ainsi que sa normale principale. Le plan tangent est attaché à la surface et contient toutes ses directions tangentes. Une courbe peut avoir sa tangente dans le plan tangent sans que les deux plans coïncident.
Section normale et courbe quelconque de la surface. La section normale est obtenue avec le plan contenant la tangente choisie et la normale à la surface. Une autre courbe passant par M avec la même tangente n'est pas nécessairement cette intersection ; son plan osculateur peut être incliné différemment.
Limites et pièges
Direction asymptotique. Lorsque κn = 0, la section normale a un rayon de courbure infini au sens limite et aucun centre fini à projeter. Si le plan osculateur est tangent à la surface, la formule se réduit à 0 = κ × 0 et ne détermine pas κ ; il faut calculer la courbure de la courbe autrement.
Point d'inflexion de la courbe. Si κ = 0, la normale principale, le plan osculateur et le centre de courbure usuels ne sont pas définis en M. La formule entre composantes conserve un sens approprié, mais l'énoncé par projection de centres ne s'applique pas.
Orientation et signe. Inverser la normale choisie à la surface change le signe de la courbure normale et remplace θ par l'angle correspondant. Il faut conserver la même convention dans toute l'égalité ; avec des rayons non orientés, on compare plutôt les valeurs absolues.
Angle proche de 90°. Dans la formule κ = κn/cos θ, un cosinus très petit amplifie les erreurs de mesure. Une estimation de θ presque droite ne justifie donc pas une valeur précise de κ ; il faut propager l'incertitude ou calculer directement la courbe.
Pour aller plus loin
La fiche Centre de courbure précise le point obtenu ici par projection et sa relation avec le rayon de courbure.
La fiche plan osculateur approfondit le plan propre à la courbe sur lequel le théorème projette le centre de la section normale.
La fiche Courbure géodésique étudie l'autre composante de la courbure d'une courbe tracée sur une surface.
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