théorème d'Euler - courbures d'une surface -

Posez une petite bande sur une surface courbe et faites-la pivoter autour d’un même point. Selon la direction choisie, la surface se cambre plus ou moins sous la bande. Deux directions donnent les courbures normale la plus forte et la plus faible.

Le théorème d’Euler permet de retrouver la courbure normale dans toute direction intermédiaire. Elle est un mélange des deux valeurs extrêmes, pondéré par l’angle de la direction observée.

Le théorème d’Euler sur les courbures décrit la courbure normale d’une courbe tracée sur une surface régulière, en un point où la surface est deux fois différentiable. La courbure normale est la composante, suivant la normale choisie à la surface, du vecteur courbure de la courbe. Elle dépend seulement du point et de la direction tangente de la courbe, pas de la courbe particulière qui réalise cette direction.

Au point considéré, les valeurs extrêmes de cette courbure sont les courbures principales, notées k₁ et k₂. Elles sont portées par deux directions principales orthogonales lorsque k₁ et k₂ sont distinctes. Si θ désigne l’angle entre la direction tangente étudiée et la première direction principale, alors :Les coefficients cos²θ et sin²θ sont positifs et leur somme vaut 1. La courbure normale se situe donc entre les deux courbures principales. Le signe dépend du choix de la normale à la surface : inverser cette normale change simultanément le signe de k_n, k₁ et k₂.

Si une surface régulière est deux fois différentiable au point étudié, si k₁ et k₂ sont ses courbures principales pour une normale choisie, et si θ est l’angle d’une direction tangente avec la première direction principale, alors la courbure normale k_n dans cette direction vaut :

Pour θ = 0°, on retrouve k₁ ; pour θ = 90°, on retrouve k₂.

Le point doit être régulier et la surface doit y posséder des dérivées secondes. Il faut aussi fixer une normale unitaire, car elle détermine le signe des courbures. Enfin, la courbe considérée doit être régulière au point et fournir une direction tangente non nulle ; le théorème donne alors sa courbure normale à partir des deux courbures principales et de l’angle θ.

À un point singulier, ou sur une surface qui n’est que différentiable une fois, les dérivées secondes nécessaires manquent : les courbures principales classiques et la formule d’Euler ne sont pas disponibles. Il faut alors étudier un modèle régulier par morceaux ou employer une notion de courbure adaptée au cadre moins régulier.

En un point d’une surface orientée, prenons les courbures principales k₁ = 2 cm⁻¹ et k₂ = 0,5 cm⁻¹. La direction étudiée fait un angle θ = 30° avec la première direction principale. Le schéma associe cette direction aux deux pondérations du calcul.

1. Pour θ = 30°, les pondérations sont exactes : cos²θ = 3/4 et sin²θ = 1/4. Leur somme vaut 1.

2. On remplace chaque terme dans la formule d’Euler :

3. Les deux contributions valent 3/2 cm⁻¹ et 1/8 cm⁻¹. Leur somme donne :

4. Le contrôle est immédiat : 1,625 cm⁻¹ est bien compris entre 0,5 cm⁻¹ et 2 cm⁻¹. Aux angles 0° et 90°, le même calcul redonne respectivement les deux valeurs extrêmes.

Quand les deux courbures principales et leurs directions sont connues, la formule d’Euler remplace le calcul direct de la courbure normale de chaque courbe. On mesure l’angle dans le plan tangent, puis on applique les pondérations cos²θ et sin²θ.

Pour rechercher les directions les plus ou les moins courbées, il suffit de comparer les valeurs obtenues aux extrêmes k₁ et k₂. Si la direction ou la normale n’est pas fixée sans ambiguïté, un calcul direct ne résout pas le problème : il faut d’abord préciser ces choix géométriques.

La courbure normale est la composante du vecteur courbure suivant la normale à la surface. La courbure géodésique est sa composante tangente à la surface. Une courbe géodésique a une courbure géodésique nulle, sans imposer que sa courbure normale soit nulle.

La courbure de Gauss est le produit k₁k₂, tandis que la courbure moyenne est leur demi-somme. Ni l’une ni l’autre ne remplace k_n dans la formule d’Euler : pour k₁ = 2 et k₂ = 0,5, elles valent respectivement 1 et 1,25, alors que la direction à 30° donne 1,625.

Point ombilic. Si k₁ = k₂, la formule donne la même courbure normale dans toutes les directions. Les directions principales ne sont alors pas déterminées de manière unique ; il ne faut pas chercher deux axes privilégiés.

Normale inversée. Changer la normale choisie inverse les signes de k₁, k₂ et k_n, mais pas leurs valeurs absolues. Un signe opposé entre deux calculs peut donc signaler une orientation différente plutôt qu’une erreur de pondération.

Angle mal identifié. L’angle θ se mesure dans le plan tangent à partir de la première direction principale, pas dans l’espace ambiant à partir de la normale. Aux seuils θ = 0° et θ = 90°, la formule doit rendre exactement k₁ et k₂.

Courbures de signes opposés. Une courbure normale peut alors s’annuler dans certaines directions sans que la surface soit plane au point. Il faut résoudre l’équation d’Euler avec les valeurs signées, plutôt que remplacer les courbures par leurs valeurs absolues.

La fiche Courbure géodésique complète la décomposition du vecteur courbure en distinguant sa composante tangente de la courbure normale étudiée ici.