GéométrieObjet géométrique · Glossaire
courbures d'une surface
Pour une courbe régulière paramétrée par longueur d’arc sur une surface régulière orientée, la courbure normale est la composante signée de son vecteur courbure selon la normale choisie, tandis que la courbure géodésique est la norme de sa projection sur le plan tangent. Cette dernière mesure combien le tracé s’écarte d’une géodésique. Au point considéré, les courbures principales sont les valeurs propres de l’endomorphisme de Weingarten ; leur moyenne est la courbure moyenne, utile notamment pour caractériser les surfaces minimales.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Séparer la courbure normale de la courbure géodésique d'une courbe tracée sur une surface.
- Relier courbures principales, courbure moyenne et orientation de la normale.
- Refaire un calcul complet sur un parallèle d'une sphère de rayon 2 m.
- Reconnaître les pièges des points ombilics, des orientations opposées et des points singuliers.
En clair
Imaginez une petite fourmi qui suit un cercle dessiné sur un ballon. Sa trajectoire peut tourner parce que le ballon lui-même se courbe, mais aussi parce qu'elle dévie sur le ballon. La courbure normale mesure la première contribution ; la courbure géodésique mesure la seconde.
Au même point, la surface ne se plie pas forcément autant dans toutes les directions. Les deux flexions extrêmes sont les courbures principales. Leur moyenne décrit l'équilibre local de la surface.
Définition
Soit une surface régulière S, un point P et une courbe régulière de S passant par P, paramétrée par longueur d'arc. Son vecteur courbure se décompose suivant la normale unitaire choisie à S et le plan tangent. La composante normale signée est la courbure normale κn. La norme de la composante tangente est la courbure géodésique κg. Avec cette convention non signée pour κg, la courbure κ de la courbe vérifie . Une courbe dont κg est nulle est une géodésique.
Si n désigne le champ de normales choisi, nous adoptons pour l'endomorphisme de Weingarten la convention W = −dn. Ses deux valeurs propres sont les courbures principales κ₁ et κ₂ ; leurs vecteurs propres donnent les directions principales. La courbure moyenne est . Inverser la normale change les signes de κn, κ₁, κ₂ et H, mais pas celui de κg définie comme une norme. Une surface minimale satisfait H = 0 en tout point régulier.
De quoi c'est fait
Le dispositif local réunit cinq éléments. La surface régulière fournit au point P un plan tangent et deux normales unitaires opposées. Une normale choisie fixe les signes des courbures extrinsèques. Une courbe régulière tracée sur la surface fournit une direction tangente et un vecteur courbure. La projection de ce vecteur sur la normale donne κn, tandis que sa projection dans le plan tangent donne la composante géodésique.
L'endomorphisme de Weingarten dépend de la surface et de la normale, pas de la courbe choisie. Ses valeurs et directions propres déterminent les deux courbures principales et les directions où elles sont atteintes. Leur demi-somme donne H. Ces données suffisent à comparer la flexion de la surface selon les directions et à séparer, pour une courbe donnée, ce qui vient de la surface de ce qui vient de son tracé.
Un exemple, pas à pas
Considérons une sphère de rayon R = 2 m et choisissons sa normale dirigée vers le centre. La courbe suivie est le parallèle situé à 1 m au-dessus du plan équatorial. Son rayon vaut donc r = √(22 − 12) = √3 m.
1. Comme ce parallèle est un cercle de rayon √3 m, sa courbure dans l'espace vaut κ = 1/√3 m−1.
2. Sur une sphère de rayon 2 m avec la normale intérieure, toutes les directions ont la même courbure normale : κn = 1/2 m−1. Les deux courbures principales valent aussi κ₁ = κ₂ = 1/2 m−1.
3. La décomposition orthogonale donne m−1. Le parallèle n'est donc pas une géodésique.
4. Enfin, H = (1/2 + 1/2)/2 = 1/2 m−1. Le contrôle est immédiat : (1/2)2 + (1/(2√3))2 = 1/3 = (1/√3)2.
En pratique
Pour décider si une trajectoire est la plus droite possible sur une surface, on calcule sa courbure géodésique. Si elle est nulle, la trajectoire est une géodésique ; sinon, son tracé tourne dans le plan tangent.
Pour caractériser la forme locale d'une surface, on recherche les courbures principales. Elles révèlent les directions de flexion extrême, là où une seule courbe tracée ne donnerait qu'une information directionnelle.
Pour tester le caractère minimal d'une surface régulière, on examine H en chaque point. Le critère pertinent est H = 0 partout ; la nullité en un point isolé ne suffit pas à qualifier toute la surface de minimale.
À ne pas confondre
Courbure normale et courbure de la courbe. La première est une composante signée selon la normale à la surface ; la seconde est la norme du vecteur courbure dans l'espace. Pour le parallèle de l'exemple, elles valent respectivement 1/2 m−1 et 1/√3 m−1.
Courbure géodésique et courbure principale. La courbure géodésique dépend d'une courbe tracée ; une courbure principale appartient à la surface en un point. Deux courbes de directions différentes peuvent avoir des courbures géodésiques différentes au même point, tandis que κ₁ et κ₂ y restent attachées à la surface.
Courbure moyenne et courbure de Gauss. La moyenne est H = (κ₁ + κ₂)/2, alors que la courbure de Gauss est leur produit. Si les courbures principales valent 1 et −1 m−1, H est nulle mais leur produit vaut −1 m−2.
Limites et pièges
Orientation inversée. Remplacer la normale par son opposée inverse les signes de κn, κ₁, κ₂ et H. Il faut annoncer la normale et la convention de l'endomorphisme de Weingarten avant de comparer des valeurs signées.
Point ombilic. Lorsque κ₁ = κ₂, comme sur la sphère, toutes les directions tangentes sont principales. Chercher deux axes principaux uniques crée alors une fausse distinction.
Courbe sans courbure. Si le vecteur courbure est nul, sa direction normale principale dans l'espace n'est pas définie. La décomposition vectorielle reste nulle, mais il ne faut pas attribuer une direction à ce vecteur nul.
Régularité nécessaire. À un point singulier d'une surface, le plan tangent ou la normale peuvent manquer ou ne pas être uniques. Les courbures décrites ici ne s'y appliquent pas directement ; il faut d'abord étudier une paramétrisation régulière ou traiter la singularité séparément.
Pour aller plus loin
Courbure géodésique. Approfondissez la composante tangentielle qui mesure l'écart d'une courbe aux géodésiques de sa surface.
Géodésique. Étudiez les courbes de courbure géodésique nulle, analogues intrinsèques des droites du plan.
surface minimale. Reliez la condition H = 0 à une famille centrale de surfaces en géométrie différentielle.
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