surface minimale

Imaginez une petite portion de surface dont le bord reste fixé. Si toute déformation infinitésimale laisse son aire inchangée au premier ordre, cette portion se comporte comme une surface minimale. Le mot « minimale » décrit donc un équilibre stationnaire autour de chaque point, sans garantir que l'aire ne puisse pas diminuer au second ordre ni qu'elle soit la plus petite de tout l'espace.

Sur une telle surface, les courbures principales se compensent : la surface peut se creuser dans une direction et se bomber dans l'autre. Le plan est le cas le plus simple, sans courbure dans aucune direction.

Dans l'espace euclidien ℝ³, une surface régulière est dite minimale lorsque sa courbure moyenne est nulle en chacun de ses points. Les deux courbures principales, notées κ₁ et κ₂, sont les valeurs propres de l'opérateur de forme. Lorsqu'elles sont distinctes, elles correspondent à deux directions perpendiculaires privilégiées du plan tangent ; à un point ombilic, elles sont égales et les directions principales ne sont pas uniques. Avec la convention usuelle, la courbure moyenne H est leur demi-somme : $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}=0H=\backslash frac\{\backslash kappa\_1+\backslash kappa\_2\}\{2\}=0$.

Cette annulation exprime la compensation des courbures. Elle équivaut à une propriété variationnelle : la première variation de l'aire est nulle pour toute déformation à frontière fixe. La surface est ainsi stationnaire pour l'aire, mais cette condition ne garantit à elle seule ni la stabilité ni un minimum local d'aire. La propriété porte sur tous les points réguliers de la surface.

Le plan vérifie κ₁ = κ₂ = 0. Une surface minimale peut toutefois être courbée : dans ce cas, les deux courbures principales sont opposées. Le caténoïde et l'hélicoïde en donnent deux formes non planes, soumises à des propriétés géométriques différentes.

La structure locale réunit cinq éléments. Un point régulier possède un plan tangent, qui porte les directions de mesure. Une normale, perpendiculaire à ce plan, fixe le signe des courbures. Les deux courbures principales κ₁ et κ₂ sont les valeurs extrêmes mesurées dans le plan tangent. Quand elles sont distinctes, leurs directions sont déterminées et perpendiculaires ; à un point ombilic, elles sont égales et toute direction tangente est principale. Leur demi-somme donne enfin la courbure moyenne H.

Le plan tangent dépend du point choisi, et les courbures dépendent à leur tour de la normale et des directions principales. Inverser la normale change leurs signes, mais ne change pas le verdict H = 0. Pour la formulation par l'aire, il faut aussi choisir un voisinage et garder sa frontière fixe. Ces données suffisent à calculer H et à tester localement si une surface régulière est minimale.

Considérons une portion de caténoïde. Les données sont deux paramètres : l'angle u varie de 0 à 2π et la hauteur v varie de −1 à 1. L'unité de longueur est arbitraire et le rayon minimal vaut 1. La figure rend visible le profil utilisé dans ce calcul.

1. On paramètre la surface par rotation de la chaînette autour de l'axe vertical : $X(u,v)=(\cosh (v)\cos (u),\cosh (v)\sin (u),v)X(u,v)=(\backslash cosh(v)\backslash cos(u),\backslash cosh(v)\backslash sin(u),v)$.

2. Les coefficients de la première forme fondamentale sont $E=G={\cosh }^2(v)\text{et}F=0E=G=\backslash cosh^2(v)\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; F=0$. Ils décrivent les longueurs et l'orthogonalité des deux directions paramétriques.

3. Avec une normale choisie, les coefficients correspondants de la seconde forme fondamentale sont e = −1, f = 0 et g = 1.

4. On les remplace dans la formule de la courbure moyenne : $H=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}=\frac{-{\cosh }^2(v)+{\cosh }^2(v)}{2{\cosh }^4(v)}=0H=\backslash frac\{eG-2fF+gE\}\{2(EG-F^2)\}=\backslash frac\{-\backslash cosh^2(v)+\backslash cosh^2(v)\}\{2\backslash cosh^4(v)\}=0$.

Le caténoïde est donc minimal sur toute la portion considérée. Le contrôle est refaisable en v = 0 : E = G = 1, tandis que e + g = 0. Aux bords v = ±1, le rayon vaut cosh(1) ≈ 1,543 unité ; les deux bords ont bien le même rayon.

Pour tester une surface régulière donnée par des équations, on calcule ses deux courbures principales ou directement sa courbure moyenne. Si H s'annule en tout point du domaine, la surface est minimale. Si H ne s'annule pas, ce critère écarte immédiatement la qualification.

Pour reconnaître un exemple classique, la géométrie sert de premier filtre. Un exemple plan conduit au plan. Une surface de révolution non plane et minimale conduit au caténoïde ; une surface réglée non plane et minimale conduit à l'hélicoïde de Meusnier. Le calcul de H confirme ensuite l'identification.

Pour étudier la topologie possible, la courbure locale ne suffit plus. Le résultat de Meeks et Hoffman affirme qu'en 1984, pour chaque entier k > 0, une surface minimale existe avec la topologie d'une surface de genre k privée de trois points.

Une surface minimale n'est pas nécessairement une surface d'aire globalement minimale pour une frontière donnée. Le premier critère est local et se vérifie par H = 0 ; le second compare l'aire avec celle de tous les concurrents admissibles ayant la frontière entière imposée.

La courbure moyenne ne doit pas être confondue avec la courbure de Gauss. La première est la demi-somme κ₁ + κ₂ divisée par 2 ; la seconde est leur produit. Sur un caténoïde, les courbures principales opposées donnent H = 0, alors que leur produit est négatif.

Stationnaire ne signifie pas minimisante. L'annulation de H garantit que la première variation de l'aire est nulle autour de chaque point régulier. Elle ne suffit pas, sans hypothèses supplémentaires, à assurer la stabilité ou un minimum local d'aire, encore moins un minimum global parmi toutes les surfaces partageant une frontière.

Un point singulier bloque le test usuel. Sans plan tangent ni normale bien définis, les courbures principales et H ne sont pas disponibles sous cette forme. Il faut d'abord préciser la régularité ou employer une notion généralisée adaptée.

Le signe dépend de l'orientation. Retourner la normale remplace H par −H. Le cas charnière H = 0 reste toutefois inchangé, ce qui rend la propriété minimale indépendante de ce choix.

Les unicités citées ont des hypothèses précises. Le caténoïde est l'unique surface de révolution non plane qui soit minimale ; l'hélicoïde de Meusnier est l'unique surface minimale réglée et non plane. Omettre ces qualificatifs rendrait les énoncés faux. Le résultat topologique cité exige quant à lui un entier k strictement positif et trois points retirés.

L'article Exquises surfaces minimales prolonge cette définition par une exploration dédiée des formes et de la richesse géométrique de ces surfaces.