caténoïde

Imaginez une chaîne souple suspendue par ses deux extrémités. Sa courbe est une chaînette. Si cette courbe tourne autour de son axe, elle balaie une surface resserrée au milieu et évasée vers les bords : un caténoïde.

Deux anneaux ronds, parallèles et bien alignés, donnent une version visible de cette forme. Trempés dans une solution savonneuse, ils peuvent être reliés par un film en caténoïde. La surface n’est pas plane, mais sa courbure moyenne s’annule en chaque point.

Un caténoïde est la surface de révolution engendrée par la rotation d’une chaînette autour de son axe. Si la lettre a désigne une longueur strictement positive, la distance à l’axe, notée r, varie avec la position axiale, notée z, selon une fonction hyperbolique : $r(z)=a\cosh \left(\frac{z}{a}\right)r(z)=a\backslash cosh\backslash left(\backslash frac\{z\}\{a\}\backslash right)$. La valeur a est le rayon du col, c’est-à-dire la section la plus étroite. La rotation de cette courbe autour de l’axe produit toute la surface.

Le caténoïde est une surface minimale : sa courbure moyenne est nulle en chacun de ses points. Il est la plus simple de ces surfaces qui ne soit pas un plan. Dans la configuration décrite par la définition de référence, son bord est formé de deux cercles parallèles de même rayon, dont les centres sont sur une même droite perpendiculaire aux plans des cercles. Il réalise alors la forme d’aire minimale reliée à ce bord.

L’expérience des deux anneaux coaxiaux matérialise cette géométrie avec un film de savon. Pour deux anneaux de diamètre commun D séparés par une distance d, la limite donnée est approximativement $d\approx \mathrm{0,66}Dd\backslash approx0\{,\}66D$. Le caténoïde est aussi lié à l’hélicoïde par une déformation isométrique continue. Euler l’a étudié dès 1740 dans ses travaux sur le calcul des variations.

On trempe dans une solution savonneuse deux anneaux circulaires coaxiaux. Leur diamètre commun vaut 20 cm et la distance entre leurs plans vaut 10 cm. On veut vérifier si cette distance reste sous la limite donnée pour la formation du film en caténoïde.

Données.
Diamètre commun : D = 20 cm.
Distance entre les anneaux : d = 10 cm.
Coefficient limite approximatif : 0,66.

1. On calcule la distance limite approximative : 0,66 × 20 cm = 13,2 cm.

2. On compare la distance réelle à cette limite : 10 cm < 13,2 cm.

3. La distance choisie respecte donc la condition fournie : le film peut prendre la forme d’un caténoïde entre les deux anneaux.

Le contrôle peut être refait avec le rapport des longueurs : 10 ÷ 20 = 0,50, et 0,50 < 0,66. La représentation conserve ces mêmes dimensions et montre le resserrement du film entre les deux bords circulaires.

Avec deux anneaux circulaires coaxiaux plongés dans une solution savonneuse, on observe directement la surface comprise entre les bords. Si l’écartement reste inférieur à environ 0,66 fois leur diamètre commun, le film peut adopter la forme d’un caténoïde.

Pour construire le modèle géométrique, on trace d’abord une chaînette, puis on la fait tourner autour de son axe. Une simple surface de révolution ne suffit pas : le profil générateur doit bien être une chaînette.

Pour reconnaître le caractère minimal, on examine la courbure moyenne en chaque point. Le critère est son annulation, même si la surface elle-même est visiblement courbe et non plane.

Chaînette. La chaînette est une courbe, tandis que le caténoïde est une surface. Le cas tranche dès que l’on fait tourner la courbe autour de son axe : l’objet balayé est le caténoïde.

Surface minimale. « Surface minimale » nomme une famille caractérisée par une courbure moyenne nulle. Le caténoïde en est un membre particulier, reconnaissable comme surface de révolution d’une chaînette.

Hélicoïde. L’hélicoïde n’est pas un autre nom du caténoïde. Les deux surfaces restent distinctes, même si une déformation isométrique continue permet de passer de l’une à l’autre.

Anneaux trop éloignés. Avec deux anneaux circulaires coaxiaux de même diamètre, la limite donnée est environ 0,66 fois ce diamètre. Au-delà, le symptôme observable est la rupture du film ; il ne faut plus attendre un film continu en caténoïde.

Bords non conformes. La propriété d’aire minimale citée suppose deux cercles parallèles, de même rayon, dont les centres sont alignés perpendiculairement à leurs plans. Si les anneaux ne satisfont pas ces conditions, ce résultat précis ne s’applique pas tel quel.

Courbure moyenne nulle. Cette annulation ne signifie pas que la surface est plane. Le caténoïde constitue précisément un cas non plan ; il faut donc contrôler la courbure moyenne, pas seulement l’aspect courbe ou plat.

La chaînette détaille la courbe dont la rotation engendre le caténoïde.

La notion de surface minimale replace l’annulation de la courbure moyenne dans sa famille géométrique.

L’hélicoïde permet d’examiner l’autre surface reliée au caténoïde par une déformation isométrique continue.

L’article Exquises surfaces minimales ouvre une vue plus large sur cette famille de surfaces.