chaînette

Tendez une chaîne entre deux points, puis laissez-la pendre. Chaque petit morceau est tiré vers le bas par son poids, tandis que les morceaux voisins le retiennent. L'équilibre de toutes ces forces dessine une courbe régulière, symétrique lorsque les attaches sont à la même hauteur : la chaînette.

Près de son point le plus bas, elle ressemble beaucoup à une parabole. Plus loin, elle remonte toutefois d'une autre manière. Cette différence discrète explique pourquoi une chaîne réelle ne dessine pas exactement la courbe familière d'un projectile.

Une chaînette, ou courbe caténaire, est la forme d'équilibre d'un fil homogène, parfaitement flexible et inextensible, suspendu par ses extrémités et soumis à la seule pesanteur. Dans un repère dont l'axe vertical passe par le point le plus bas, son équation s'écrit avec l'abscisse x, l'ordonnée y et un paramètre positif a : $y=a\cosh (x\mathrm{/}a)y=a\backslash cosh(x/a)$. Le symbole cosh désigne le cosinus hyperbolique. Avec ce choix d'origine horizontale, le sommet a pour coordonnées (0 ; a).

Le paramètre a fixe l'échelle de la courbe. Dans le modèle idéal, il dépend du poids par unité de longueur du fil et de la composante horizontale de la tension au point le plus bas. Une translation horizontale ou verticale change l'équation écrite, mais pas la nature de la courbe. Si les attaches ne sont pas à la même hauteur, le segment observé n'est pas symétrique entre elles, même si la chaînette complète possède un axe de symétrie.

En faisant tourner cette courbe autour de son axe de symétrie, on obtient une caténoïde. Cette surface est dite minimale parce que sa courbure moyenne est nulle : son aire est stationnaire sous de petites variations, sans que cela garantisse un minimum local. Pour deux cercles imposés, une caténoïde n'existe pas pour tout écartement et une solution existante n'est pas nécessairement le minimum global d'aire parmi toutes les surfaces admissibles.

Considérons une chaînette de paramètre a = 2 m, centrée sur son point le plus bas. Les deux attaches ont pour abscisses −2 m et 2 m. Le point le plus bas a donc pour coordonnées (0 m ; 2 m). On cherche la hauteur des attaches et la longueur de fil comprise entre elles.

1. À l'abscisse 2 m, le quotient x/a vaut 1. L'ordonnée de chaque attache est donc $y=2\cosh (1)\approx \mathrm{3,086}\mathrm{m}y=2\backslash cosh(1)\backslash approx3\{,\}086\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$.

2. Chaque attache se trouve environ 1,086 m au-dessus du point le plus bas, car 3,086 − 2 ≈ 1,086.

3. La longueur d'arc entre les abscisses −2 m et 2 m s'obtient en intégrant le facteur de longueur cosh(x/2) : $L={\int }_{-2}^2\cosh (x\mathrm{/}2)dx=4\sinh (1)\approx \mathrm{4,701}\mathrm{m}L=\backslash int\_\{-2\}^\{2\}\backslash cosh(x/2)\backslash ,dx=4\backslash sinh(1)\backslash approx4\{,\}701\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$.

Le contrôle est immédiat : 4,701 m dépasse bien les 4 m qui séparent horizontalement les attaches. La symétrie donne aussi la même hauteur aux deux extrémités.

Pour modéliser un câble suspendu dont le poids propre domine et dont les attaches sont fixes, on ajuste une chaînette aux positions mesurées. Si une charge est répartie horizontalement plutôt que le long du câble, le modèle parabolique devient plus approprié.

En architecture, une maquette faite d'une chaîne pendante révèle une forme qui ne travaille qu'en traction. Retournée, cette forme guide la conception d'un arc ou d'une voûte travaillant principalement en compression, sous des charges correspondant au modèle.

Pour reconnaître la courbe dans des données, on ne se fie pas seulement à son allure. On compare les points mesurés à une expression en cosh et à une parabole, en tenant compte de la précision des mesures.

La parabole peut avoir le même sommet et la même courbure locale qu'une chaînette, sans être la même courbe. Pour a = 2 m, on note ici x et y les mesures numériques en mètres des coordonnées : la parabole correspondante a pour ordonnée $y=2+x^2\mathrm{/}4y=2+x^2/4$, tandis que la chaînette suit $y=2\cosh (x\mathrm{/}2)y=2\backslash cosh(x/2)$. À l'abscisse 4 m, leurs ordonnées valent respectivement 6 m et environ 7,524 m : le calcul tranche malgré la ressemblance près du sommet. La figure prolonge les deux courbes pour rendre cet écart visible.

La caténoïde n'est pas une autre courbe suspendue. C'est la surface engendrée par la rotation d'une chaînette autour de son axe de symétrie ; le critère distinctif est donc sa dimension de surface et non son seul profil.

Le modèle idéal cesse d'être exact si le fil est extensible, rigide, non homogène ou soumis à d'autres forces importantes. Une charge ponctuelle produit par exemple un changement de direction observable ; il faut alors écrire l'équilibre par portions plutôt qu'ajuster une seule chaînette lisse.

Deux attaches à la même hauteur rendent le segment symétrique seulement si le fil et les charges respectent aussi cette symétrie. Avec des attaches de hauteurs différentes, il faut autoriser une translation du sommet au lieu de placer automatiquement celui-ci à mi-distance.

La proximité avec une parabole est locale, non globale. Dans l'exemple où a = 2 m, l'écart d'ordonnée n'est qu'environ 0,086 m à x = 2 m, mais atteint environ 1,524 m à x = 4 m. Une courte portion ou une mesure peu précise peut donc masquer la différence.

Qualifier la caténoïde de surface minimale ne garantit ni son existence entre deux cercles quelconques, ni un minimum global unique. Il faut préciser les bords imposés et comparer les surfaces admissibles avant de conclure à une aire minimale.

La parabole permet d'étudier précisément la ressemblance locale entre les deux courbes et la divergence de leurs ordonnées loin du sommet.

La surface minimale prolonge l'étude vers la caténoïde et précise le sens géométrique d'une aire stationnaire sous une déformation.