GéométrieNotion · Glossaire
pendule simple
Un pendule simple est un modèle mécanique formé d'une masse ponctuelle suspendue à un point fixe par un fil sans masse et inextensible, qui évolue sans frottements sous l'action de la pesanteur et de la tension du fil. Lorsqu'on l'écarte puis le lâche, la masse oscille sur un arc de cercle ; sa période est presque indépendante de l'amplitude seulement pour de petits angles, puis augmente lorsque l'amplitude grandit.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les éléments et les hypothèses du pendule simple.
- Calculer une période approchée à faible amplitude.
- Savoir pourquoi l'amplitude rompt l'isochronisme exact.
- Reconnaître les principaux écarts entre le modèle et un montage réel.
En clair
Suspendez une petite masse à un fil, écartez-la légèrement de la verticale, puis lâchez-la. La masse repart vers le bas, dépasse la verticale et remonte de l'autre côté. Son trajet suit un arc de cercle autour du point d'attache.
Le pendule simple est le modèle idéal de cette scène : le fil ne s'allonge pas et sa masse est négligée, tandis que l'objet suspendu est réduit à un point. À faible écartement, chaque aller-retour dure presque autant que le précédent. Un grand écartement allonge toutefois cette durée.
Définition
Un pendule simple associe un point fixe, un fil de longueur constante, inextensible et sans masse, et une masse ponctuelle fixée à l'extrémité libre. Dans un champ de pesanteur uniforme, la masse se déplace sur un cercle centré au point d'attache. Le mouvement est repéré par l'angle θ entre le fil et la verticale descendante. La longueur du fil est notée L et l'accélération de la pesanteur est notée g.
En l'absence de frottements, l'angle obéit à l'équation non linéaire . La valeur extrême de l'angle, appelée amplitude θ0, influe donc sur la période T. Les oscillations ne sont pas exactement isochrones à amplitude quelconque.
Lorsque l'amplitude est faible et exprimée en radians, le sinus de l'angle peut être remplacé approximativement par l'angle. Le modèle devient alors linéaire et sa période vaut . Cette période approchée dépend de la longueur et de la pesanteur, mais pas de la masse suspendue. À plus grande amplitude, il faut conserver le sinus ou employer une correction : la période réelle est supérieure à T0.
Un exemple, pas à pas
Considérons un pendule idéalisé de longueur L = 1,00 m, soumis à une accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s2. La masse est lâchée sans vitesse initiale à l'amplitude θ0 = 10°, soit environ 0,1745 rad. On cherche la durée d'une oscillation complète.
1. Pour le modèle des petits angles, on calcule .
2. À 10°, la première correction d'amplitude multiplie ce résultat par .
3. La période corrigée vaut donc environ 2,010 s. Pour dix oscillations, la durée prévue est environ 20,10 s. L'écart avec le calcul des petits angles reste voisin de 0,2 %, mais il n'est pas nul.
Un contrôle expérimental consiste à chronométrer dix oscillations plutôt qu'une seule, puis à diviser la durée obtenue par 10. Une mesure proche de 20,10 s, dans la précision du chronomètre et du montage, est compatible avec ce calcul idéalisé.
En pratique
Pour prévoir la cadence d'un petit pendule, on mesure la longueur entre le point d'attache et le centre de la masse. Si l'angle initial reste proche de 10° ou inférieur, la formule des petits angles donne déjà une période très précise.
Pour confronter le modèle à une expérience, on chronomètre plusieurs oscillations complètes et l'on divise la durée totale par leur nombre. Cette moyenne réduit l'effet du déclenchement manuel. Si l'amplitude décroît visiblement, un modèle avec frottements devient préférable.
Pour une grande amplitude, la période 2π√(L/g) n'est plus le bon outil à elle seule. On conserve l'équation avec le sinus ou l'on utilise une correction dépendant de l'amplitude observée.
À ne pas confondre
Pendule simple et pendule pesant. Dans le pendule simple, toute la masse est assimilée à un point au bout d'un fil sans masse. Un objet rigide qui oscille autour d'un axe est un pendule pesant : sa répartition de masse intervient dans sa période.
Pendule simple et pendule de Foucault. Le premier nomme un modèle mécanique d'oscillation dans un plan. Le second est un dispositif destiné à rendre visible la rotation de la Terre par l'évolution du plan d'oscillation. Une masse suspendue relève de cette seconde expérience lorsque le dispositif laisse son plan d'oscillation tourner librement par rapport au sol sous l'effet de la rotation terrestre.
Période et demi-oscillation. La période est la durée nécessaire pour retrouver la même position avec le même sens de mouvement. Le trajet d'une extrémité à l'autre ne représente qu'une demi-période ; l'aller-retour complet en représente une.
Limites et pièges
L'isochronisme est approché. À 10°, la formule des petits angles sous-estime la période d'environ 0,2 %. À 60°, l'écart atteint environ 7,3 %. Si l'amplitude n'est plus faible, il faut conserver le terme sin θ ou appliquer une correction adaptée.
Le montage réel perd de l'énergie. Une amplitude qui diminue au fil des oscillations signale les frottements de l'air ou du pivot. Le modèle sans frottements ne décrit alors pas toute l'évolution ; un terme d'amortissement doit être ajouté.
La longueur utile peut être mal mesurée. Elle va du point d'attache au centre de masse de l'objet suspendu, et non au bord de cet objet. Une masse volumineuse, un fil lourd ou un fil qui s'allonge s'écartent du modèle ponctuel et inextensible.
Le mouvement doit rester circulaire. Un fil qui se détend ou une masse qui reçoit une poussée latérale ne suit plus nécessairement l'arc prévu dans un plan fixe. Il faut alors décrire le mouvement spatial ou les phases où la contrainte du fil disparaît.
Pour aller plus loin
L'article Un monde d'oscillations De l'horloge de Huygens à la physique quantique replace le pendule parmi d'autres systèmes oscillants et élargit l'étude vers leurs usages physiques.
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