GéométrieNotion · Glossaire
centre de gravité
Le centre de gravité est un point caractéristique associé à un objet géométrique ou à un corps physique, défini comme le point en lequel se concentre, de manière équivalente, l'effet global d'une distribution. En géométrie, le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses trois médianes. Il se situe sur chaque médiane au tiers de sa longueur à partir du côté opposé, ou, de manière équivalente, aux deux tiers de sa longueur à partir du sommet correspondant. Plus généralement, pour une figure plane ou un solide homogène, il correspond au barycentre d'une distribution continue : ses coordonnées sont des moyennes pondérées, calculées par intégration sur l'aire ou le volume. Pour un corps non homogène, la pondération porte sur la masse. Dans un champ de gravitation uniforme, le centre de gravité d'un corps solide est le point d'application équivalent de la résultante des forces de pesanteur exercées sur toutes ses masses élémentaires, et il coïncide avec le centre de masse. Dans un champ variable, il faut considérer la résultante et le moment résultant, qui ne sont pas toujours représentables par une force unique appliquée en un point. La notion de centre de gravité est fondamentale en statique, en mécanique des solides et en architecture, où elle intervient dans l'étude de l'équilibre des structures.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le centre de gravité d'un triangle comme l'intersection de ses médianes.
- Calculer ses coordonnées en moyennant celles des trois sommets.
- Vérifier sur un exemple la position aux deux tiers d'une médiane depuis le sommet.
- Distinguer centre de gravité et centre de masse selon l'uniformité du champ de gravitation.
En clair
Découpez un triangle dans un carton homogène, puis posez-le à plat sur la pointe d'un crayon. Il tient en équilibre lorsque la pointe se trouve sous un endroit précis : son centre de gravité.
Dans un triangle, cet endroit est le croisement des trois médianes, les segments qui relient chaque sommet au milieu du côté opposé. Il est toujours à l'intérieur du triangle. Cette image donne l'intuition d'un effet réparti que l'on peut remplacer, pour étudier l'équilibre, par un effet global appliqué en un point.
Définition
En géométrie, le centre de gravité est un barycentre : il représente la moyenne d'une distribution uniforme de points. Pour un triangle de sommets A, B et C, il suffit de moyenner les coordonnées des trois sommets. Si leurs coordonnées sont (xA, yA), (xB, yB) et (xC, yC), le point G a pour coordonnées :
Les coordonnées s’écrivent .
Ce même point est l'intersection des trois médianes. Sur la médiane issue d'un sommet, G se trouve aux deux tiers du trajet depuis ce sommet, donc au tiers depuis le milieu du côté opposé. Pour une plaque homogène, la moyenne porte sur toute l'aire occupée et pas seulement sur quelques sommets. En physique, dans un champ de gravitation uniforme, le centre de gravité est le point d'application équivalent de la résultante des forces de pesanteur et il coïncide avec le centre de masse. Dans un champ variable, il faut considérer séparément la résultante et le moment résultant, qui ne sont pas toujours représentables par une force unique appliquée en un point.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle dont les sommets sont A(0 ; 6), B(0 ; 0) et C(6 ; 0). Les coordonnées sont exprimées en centimètres. Le milieu M du côté [BC] est (3 ; 0), le milieu N de [CA] est (3 ; 3) et le milieu P de [AB] est (0 ; 3).
1. On moyenne les trois abscisses : (0 + 0 + 6) ÷ 3 = 2.
2. On moyenne les trois ordonnées : (6 + 0 + 0) ÷ 3 = 2.
3. Le centre de gravité est donc G(2 ; 2).
2. On moyenne les trois ordonnées : (6 + 0 + 0) ÷ 3 = 2.
3. Le centre de gravité est donc G(2 ; 2).
Le calcul complet s'écrit : . Pour contrôler le résultat, suivons la médiane [AM]. Le point G situé aux deux tiers de A vers M vérifie ; ses coordonnées sont (2 ; 2). Les deux autres médianes passent également par ce point, comme le montre la construction géométrique associée.
En pratique
Pour construire le centre de gravité d'un triangle, repérez le milieu de deux côtés et tracez les médianes correspondantes. Leur intersection suffit ; la troisième médiane sert de contrôle.
Avec des coordonnées, la moyenne des trois sommets est souvent plus rapide qu'une construction. Pour A(0 ; 6), B(0 ; 0) et C(6 ; 0), elle donne directement G(2 ; 2).
Pour une plaque homogène de forme irrégulière, une suspension successive en deux points fournit une méthode expérimentale : chaque fil à plomb trace une verticale passant par le centre de gravité, et les deux verticales se coupent en ce point. Si la masse n'est pas répartie uniformément, un barycentre pondéré remplace la simple moyenne des coordonnées.
À ne pas confondre
Centre de gravité et centre de masse. Le centre de masse dépend seulement de la répartition des masses. Le centre de gravité dépend aussi du champ de gravitation. Ils coïncident dans un champ uniforme ; si le champ varie sensiblement à l'échelle du corps, cette identification n'est plus automatique.
Centre de gravité et centre du cercle circonscrit. Le premier est le croisement des médianes ; le second est le croisement des médiatrices. Dans le triangle A(0 ; 6), B(0 ; 0), C(6 ; 0), le centre de gravité est (2 ; 2), tandis que le centre du cercle circonscrit est (3 ; 3).
Limites et pièges
Répartition non uniforme. La moyenne des coordonnées ne convient pas si certaines zones sont plus lourdes que d'autres. Le symptôme est qu'une plaque ne s'équilibre pas au centre calculé par sa seule forme. Il faut alors pondérer chaque partie par sa masse.
Champ de gravitation variable. L'égalité entre centre de gravité et centre de masse suppose un champ uniforme. Si l'intensité ou la direction de la pesanteur varie sensiblement d'un point du corps à l'autre, il faut sommer les forces locales et leurs moments, au lieu d'appliquer automatiquement cette égalité.
Triangle aplati. Si les trois sommets sont alignés, l'objet n'est plus un triangle non dégénéré : la plaque triangulaire a une aire nulle et n'a donc pas de centroïde surfacique au sens usuel. La moyenne des trois sommets existe encore si l'on considère ces sommets comme une distribution de points sur une droite, mais il s'agit alors d'un autre modèle.
Équilibre et support. Un centre de gravité bas ne garantit pas seul la stabilité. Sous l'action de la pesanteur, la verticale passant par ce point doit rencontrer la zone d'appui ; dès qu'elle en sort, le corps bascule.
Pour aller plus loin
barycentre — Cette notion généralise la moyenne de points lorsque chacun reçoit un poids, identique ou non.
Aire et barycentre — Cet article prolonge le lien entre répartition géométrique, aires et calcul barycentrique.
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