associativité du barycentre

Imaginez trois points portant chacun un poids. Pour trouver leur point d’équilibre commun, on peut d’abord réunir deux points en un point d’équilibre intermédiaire. Ce nouveau point reçoit le poids total du duo.

On cherche ensuite l’équilibre entre ce point intermédiaire et le troisième point. Le résultat est exactement le même qu’avec un calcul effectué sur les trois points à la fois. Cette possibilité de regrouper sans changer le résultat est l’associativité du barycentre.

Considérons des points A₁, …, A_n, affectés de coefficients réels α₁, …, α_n. Leur barycentre G existe lorsque la somme totale des coefficients est non nulle. Il est caractérisé, pour une origine quelconque O, par la relation suivante :

Choisissons un sous-ensemble de points dont la somme des coefficients, notée σ, est non nulle, et appelons H son barycentre. L’associativité affirme que le barycentre global ne change pas si ce sous-ensemble est remplacé par le seul point H affecté du coefficient σ. Le calcul peut donc être organisé en regroupements successifs. Cette propriété est aussi appelée théorème du barycentre partiel. Elle vaut pour des coefficients positifs, nuls ou négatifs, sous réserve que le barycentre global et chaque barycentre partiel effectivement utilisé soient définis.

Dans un repère, prenons A de coordonnées (0 ; 0) avec le coefficient 2, B de coordonnées (6 ; 0) avec le coefficient 1, et C de coordonnées (0 ; 6) avec le coefficient 3. Les trois coefficients ont pour somme 6.

1. Regroupons A et B. Leur somme de coefficients vaut 2 + 1 = 3.

2. Le barycentre partiel H du duo A, B a pour coordonnées :
$x_H=\frac{2\times 0+1\times 6}{3}=2x\_H=\backslash frac\{2\backslash times0+1\backslash times6\}\{3\}=2$ et $y_H=0y\_H=0$.

3. Remplaçons A et B par H affecté du coefficient 3. H et C ont alors le même coefficient.

4. Leur barycentre G est donc le milieu du segment [HC] :
$G=(\frac{3\times 2+3\times 0}{6};\frac{3\times 0+3\times 6}{6})=(1;3)G=\backslash left(\backslash frac\{3\backslash times2+3\backslash times0\}\{6\};\backslash frac\{3\backslash times0+3\backslash times6\}\{6\}\backslash right)=(1;3)$.

Un calcul direct avec A, B et C redonne $x_G=\frac{2\times 0+1\times 6+3\times 0}{6}=1x\_G=\backslash frac\{2\backslash times0+1\backslash times6+3\backslash times0\}\{6\}=1$ et $y_G=\frac{2\times 0+1\times 0+3\times 6}{6}=3y\_G=\backslash frac\{2\backslash times0+1\backslash times0+3\backslash times6\}\{6\}=3$. Ce contrôle confirme que le regroupement n’a pas déplacé G. La figure matérialise le remplacement du duo A, B par H et la position finale de G.

Pour alléger un calcul, on regroupe d’abord les points dont le barycentre partiel est immédiat. Dans l’exemple, A et B donnent H sur l’axe horizontal. Un calcul direct reste préférable si aucun regroupement ne simplifie les coordonnées.

Pour construire une figure, deux points portant le même coefficient ont pour barycentre le milieu de leur segment. Après le regroupement, H et C ont tous deux le coefficient 3 : une construction du milieu suffit pour placer G. Si les coefficients diffèrent, il faut partager le segment dans la proportion correspondante.

Pour contrôler une solution, on compare le résultat obtenu par regroupement avec les coordonnées calculées en une seule fois. Une différence signale généralement un coefficient oublié ou une mauvaise somme attribuée au barycentre partiel.

Associativité du barycentre et associativité d’une opération. Une opération associative vérifie qu’un changement de parenthèses ne modifie pas son résultat. Ici, le regroupement exige en plus de remplacer le groupe par son barycentre et de lui attribuer la somme de ses coefficients. Garder seulement le barycentre partiel avec le coefficient 1 peut déplacer le résultat.

Barycentre mathématique et centre de gravité physique. Le barycentre accepte des coefficients réels, y compris négatifs, tandis qu’un centre de gravité modélise des masses non négatives. Avec un coefficient négatif, le barycentre peut sortir de l’enveloppe des points : le calcul reste mathématique, mais ne décrit plus un équilibre de masses ordinaires.

Somme totale nulle. Si la somme de tous les coefficients vaut 0, le barycentre global n’est pas défini dans le cadre affine usuel. Le symptôme est une division par zéro dans la formule des coordonnées. Il faut alors étudier la relation vectorielle obtenue, sans prétendre avoir trouvé un barycentre.

Sous-groupe de somme nulle. Même si la somme totale est non nulle, un groupe dont les coefficients se compensent ne possède pas de barycentre partiel. On ne peut donc pas le remplacer par un point pondéré. Il faut choisir un autre regroupement de somme non nulle ou revenir au calcul direct.

Coefficient négatif. Un barycentre situé hors du triangle ou du segment n’est pas nécessairement une erreur. Ce comportement devient possible dès qu’un coefficient est négatif. Il faut vérifier les signes et la somme des coefficients plutôt que forcer le point à rester dans l’enveloppe convexe.

Poids du groupe mal reporté. Le barycentre partiel reçoit exactement la somme algébrique des coefficients du groupe, et non leur nombre ni leur moyenne. Dans l’exemple, H reçoit 3, car 2 + 1 = 3. Une autre valeur change généralement le barycentre global.

Le glossaire barycentre reprend la notion générale de point pondéré et les conditions de son calcul.

L’article Une notion affine inspirée par la physique éclaire le passage de l’intuition des masses à la géométrie affine.