fonction vectorielle de Leibniz

Imaginez plusieurs points munis de poids, puis choisissez un point mobile M. Depuis M, chaque point attire un vecteur orienté vers lui, multiplié par son poids. La fonction vectorielle de Leibniz additionne tous ces vecteurs.

Si le total des poids n'est pas nul, la somme indique toujours la direction d'un point fixe G : le barycentre. Si ce total vaut zéro, déplacer M ne change plus le résultat ; la fonction devient constante.

Soit E' un espace affine associé à l'espace vectoriel E. On considère n points A_i de E', chacun affecté d'un coefficient réel a_i. À tout point M de E', la fonction vectorielle de Leibniz associe un vecteur de E :

La relation de Chasles sépare alors la dépendance en M du système pondéré. Si la somme S des coefficients est non nulle, le système possède un unique barycentre G et, pour tout M, f(M) = S · $\overrightarrow{MG}\backslash overrightarrow\{MG\}$. Le seul zéro de la fonction est donc G. Si S = 0, le terme dépendant de M disparaît : f est constante et vaut ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\overrightarrow{O{A}_i}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}a\_i\backslash ,\backslash overrightarrow\{OA\_i\}$ pour n'importe quel point O choisi comme origine. Dans ce second cas, aucun barycentre du système pondéré n'est défini par la formule usuelle.

La construction réunit quatre éléments : un espace affine E' où vivent les points, son espace vectoriel associé E où vivent les vecteurs, les points A_i, et leurs coefficients réels a_i. Le point variable M sert d'origine aux vecteurs $\overrightarrow{M{A}_i}\backslash overrightarrow\{MA\_i\}$ ; les coefficients règlent la contribution de chacun à la somme.

Les points et les coefficients définissent le système pondéré, tandis que M ne fait qu'évaluer la fonction. La somme S des coefficients commande sa structure : avec S non nul, elle détermine le barycentre G et le facteur entre $\overrightarrow{MG}\backslash overrightarrow\{MG\}$ et f(M) ; avec S nul, elle efface toute dépendance en M. Ces données suffisent donc à calculer la fonction et à décider si un barycentre existe.

Dans le plan muni d'un repère, prenons A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 3), avec les poids respectifs 1, 2 et 3. Évaluons la fonction au point M(5 ; 4).

1. Le total des poids vaut S = 1 + 2 + 3 = 6. Il est non nul : le barycentre G existe et il est unique.

2. Les coordonnées pondérées donnent $G(\frac{1\times 0+2\times 6+3\times 0}{6};\frac{1\times 0+2\times 0+3\times 3}{6})=(2;\mathrm{1,5})G\backslash left(\backslash frac\{1\backslash times0+2\backslash times6+3\backslash times0\}\{6\}\backslash ,;\backslash ,\backslash frac\{1\backslash times0+2\backslash times0+3\backslash times3\}\{6\}\backslash right)=(2\backslash ,;\backslash ,1\{,\}5)$.

3. Depuis M, les vecteurs vers A, B et C ont pour coordonnées respectives (−5 ; −4), (1 ; −4) et (−5 ; −1). Leur somme pondérée vaut :

4. Le contrôle utilise G : le vecteur $\overrightarrow{MG}\backslash overrightarrow\{MG\}$ a pour coordonnées (−3 ; −2,5), donc 6 · $\overrightarrow{MG}\backslash overrightarrow\{MG\}$ = (−18 ; −15). Les deux calculs donnent exactement le même vecteur.

Pour trouver le point d'équilibre d'un système pondéré, on calcule d'abord la somme des coefficients. Si elle est non nulle, chercher le zéro de la fonction revient à chercher le barycentre G.

Pour évaluer rapidement la fonction en plusieurs points, on calcule G une seule fois, puis on utilise f(M) = S · $\overrightarrow{MG}\backslash overrightarrow\{MG\}$. Le développement de tous les vecteurs reste utile comme contrôle ponctuel.

Lorsque la somme des coefficients vaut zéro, la méthode par barycentre ne s'applique pas. On choisit alors un point O commode et on calcule directement la somme des vecteurs $\overrightarrow{O{A}_i}\backslash overrightarrow\{OA\_i\}$ pondérés ; le résultat sera le même avec une autre origine.

La fonction vectorielle de Leibniz n'est pas le barycentre. La première est une application définie pour chaque point M ; le second est un point fixe G, qui existe seulement lorsque la somme des coefficients est non nulle. Dans l'exemple, f(M) = (−18 ; −15), tandis que G = (2 ; 1,5).

Elle ne doit pas non plus être confondue avec la formule de Leibniz pour dériver un produit. Le critère est le type d'objets manipulés : ici, des points pondérés et des vecteurs d'un espace affine ; dans la dérivation d'un produit, des fonctions numériques et leurs dérivées.

Le cas charnière est S = 0. Affirmer que la fonction possède alors un unique zéro serait faux : elle est constante. Si cette constante est non nulle, elle n'a aucun zéro ; si elle est nulle, tous les points M sont des zéros.

Des coefficients négatifs sont permis. Le barycentre peut alors se trouver hors de l'enveloppe formée par les points ; il ne faut pas le chercher uniquement entre eux. La condition d'existence reste S ≠ 0, et non la positivité des coefficients.

Enfin, les coordonnées dépendent du repère choisi, mais le point G et le vecteur f(M) sont des objets affines intrinsèques. Pour éviter une fausse contradiction entre deux calculs, il faut comparer des coordonnées exprimées dans le même repère ou revenir aux relations vectorielles.

Le glossaire barycentre prolonge le cas où la somme des coefficients est non nulle et détaille le point d'équilibre obtenu.

La fiche espace affine précise le cadre dans lequel on soustrait deux points pour former un vecteur sans choisir d'origine privilégiée.

L'article Une notion affine inspirée par la physique replace le barycentre dans l'intuition d'équilibre qui a motivé son usage géométrique.