plan affine

Imaginez une feuille sans quadrillage, sans origine et sans unité de longueur. On peut y placer des points, tracer par un point une droite parallèle à une autre et repérer le milieu d’un segment. En revanche, rien ne permet encore d’annoncer une distance ou un angle.

Cette géométrie forme un plan affine. Un repère peut lui donner des coordonnées pour calculer, mais ce repère reste un choix : les points et les relations affines existent indépendamment de lui.

Un plan affine est un ensemble de points associé à un espace vectoriel directeur de dimension 2. À deux points ordonnés A et B correspond un unique vecteur, noté $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$. Réciproquement, pour un point A et un vecteur u du plan directeur, il existe un unique point B tel que $\overrightarrow{AB}=u\backslash overrightarrow\{AB\}=u$. Ces correspondances vérifient $\overrightarrow{AA}=0\backslash overrightarrow\{AA\}=0$ et la relation de Chasles $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\backslash overrightarrow\{AB\}+\backslash overrightarrow\{BC\}=\backslash overrightarrow\{AC\}$, qui rendent les transports successifs compatibles avec l’addition des vecteurs. Ces relations permettent de transporter les points par des vecteurs sans choisir d’origine privilégiée.

Dans le cadre usuel d’un plan affine réel, le choix provisoire d’un repère donne deux coordonnées à chaque point. Une combinaison de points est affine lorsque la somme de ses coefficients vaut 1. Pour des points A, B et C et des nombres réels α, β et γ, le point P défini dans ce repère par la relation suivante ne dépend pas du repère choisi :

Le parallélisme et les barycentres relèvent donc de la structure affine. Une distance, une longueur, un angle ou l’orthogonalité exige une structure euclidienne supplémentaire ; aucune de ces notions métriques n’est fournie par le seul plan affine.

La structure réunit quatre éléments. Il y a d’abord un ensemble de points. Un espace vectoriel directeur de dimension 2 fournit les déplacements possibles. Une opération associe ensuite à deux points A et B le vecteur $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$. Enfin, l’action inverse transporte un point A par un vecteur u vers un unique point B. Cette action est libre et transitive : le vecteur nul laisse chaque point fixe, et deux transports successifs de vecteurs u puis v équivalent à un seul transport de vecteur u + v. De façon équivalente, $\overrightarrow{AA}=0\backslash overrightarrow\{AA\}=0$ et $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\backslash overrightarrow\{AB\}+\backslash overrightarrow\{BC\}=\backslash overrightarrow\{AC\}$.

Le vecteur entre deux points dépend de leur ordre, et l’arrivée d’un déplacement dépend à la fois du point de départ et du vecteur. Ces données suffisent à définir droites, parallélisme, translations et combinaisons affines. Le choix d’une origine et de deux vecteurs directeurs indépendants fournit un repère, mais ne fait pas partie de la structure intrinsèque. Une échelle, une orientation du dessin ou une couleur n’en fait pas partie non plus.

Dans un repère choisi sur un plan affine réel, considérons un triangle. La figure matérialise les trois médianes et leur point commun, sans attribuer de longueur ni d’angle au plan.

Données. Les sommets ont pour coordonnées A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 3). Les trois sommets ont le même coefficient, égal à un tiers.

1. La somme des trois coefficients vaut 1. La combinaison des trois points est donc affine et définit leur barycentre G.

2. On calcule séparément les deux coordonnées du point G.

3. Pour contrôler le résultat, on soustrait les coordonnées de G à celles des trois sommets. La somme des trois vecteurs obtenus est le vecteur nul : $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\backslash overrightarrow\{GA\}+\backslash overrightarrow\{GB\}+\backslash overrightarrow\{GC\}=0$. Le point G est donc bien le barycentre. Un changement de repère modifierait les six coordonnées utilisées, mais pas le point construit.

Pour construire un milieu ou un barycentre, on choisit un repère commode, on effectue la combinaison affine, puis on interprète le résultat comme un point du plan. Changer de repère ne change pas ce point.

Pour étudier des droites parallèles ou une translation, la structure affine suffit : seules comptent les directions et les différences entre points. Si la question demande une longueur, un angle ou une perpendicularité, il faut travailler dans un plan affine euclidien.

Dans un calcul, la somme des coefficients donne un test immédiat. Si elle vaut 1, la combinaison de points ne dépend pas de l’origine du repère. Sinon, l’écriture ne définit pas intrinsèquement un point affine.

Plan affine et plan vectoriel. Un plan vectoriel possède un vecteur nul et additionne ses vecteurs. Un plan affine est formé de points et n’a pas d’origine privilégiée. L’écriture A + B n’a donc pas de sens intrinsèque pour deux points ; une combinaison comme un milieu en a un, car ses coefficients totalisent 1.

Plan affine et plan affine euclidien. Le second porte une structure supplémentaire qui définit distances et angles. Deux droites parallèles peuvent être reconnues dans les deux cadres, tandis que mesurer l’angle entre deux droites n’est possible que dans le cadre euclidien.

Plan affine et dessin plan. Une feuille quadrillée représente souvent un plan muni d’un repère et d’une métrique. Le quadrillage autorise des mesures visuelles qui ne sont pas des propriétés du plan affine abstrait.

Somme des coefficients différente de 1. Le résultat d’une expression telle que αA + βB dépend alors de l’origine choisie. Le symptôme est qu’une translation du repère change le point obtenu. Il faut reformuler avec des coefficients dont la somme vaut 1, ou travailler avec des vecteurs.

Origine choisie prise pour une donnée intrinsèque. Fixer un point O permet d’identifier provisoirement les points aux vecteurs issus de O. Un autre choix donne une autre identification. Il faut distinguer la structure affine du repère utilisé pour la décrire.

Dimension mal vérifiée. Un espace affine dont l’espace directeur est de dimension 1 est une droite affine ; en dimension 3, c’est un espace affine tridimensionnel. Le mot « plan » impose exactement la dimension 2.

Mesure déduite du dessin. Une apparence d’angle droit ou deux segments qui semblent égaux ne suffit pas. Sans structure euclidienne ajoutée, il faut s’en tenir aux propriétés affines, comme l’alignement, le parallélisme et les barycentres.

Espace affine — Pour replacer le plan dans la définition valable en toute dimension.

Espace vectoriel — Pour approfondir la structure qui fournit les déplacements du plan affine.

Barycentre — Pour étudier les coefficients, l’existence et les propriétés de cette combinaison affine.

Plan affine euclidien — Pour voir quelle structure supplémentaire rend distances et angles disponibles.