AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Espace tangent
L'espace tangent à une variété différentiable M en un point p est l'espace vectoriel qui approxime la variété au premier ordre en ce point. On peut le définir comme l'ensemble des vecteurs tangents aux courbes passant par p, ou comme l'espace des dérivations de l'algèbre des fonctions lisses en p. La réunion des espaces tangents en tous les points forme le fibré tangent. En géométrie riemannienne, chaque espace tangent est muni d'un produit scalaire variant de façon lisse.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un vecteur tangent à la vitesse d'une courbe passant par le point considéré.
- Calculer l'espace tangent à la sphère unité en p = (0,0,1).
- Distinguer l'espace vectoriel tangent de sa représentation affine au contact de la surface.
- Identifier le rôle du fibré tangent et celui, supplémentaire, d'une métrique riemannienne.
En clair
Une fourmi se déplace sur une sphère et passe par un point p. À cet instant, sa vitesse ne pointe ni vers l'intérieur ni vers l'extérieur : elle suit une direction tangente à la surface. Toutes les vitesses possibles en p forment l'espace tangent.
Près de p, cet espace joue le rôle d'une surface plane qui épouse la sphère au premier ordre. Il conserve les directions et les vitesses instantanées, mais pas la courbure qui devient visible quand on s'éloigne du point.
Définition
Soit M une variété différentiable et p un point de M. Une courbe lisse γ tracée dans M, paramétrée près de 0 et vérifiant γ(0) = p, possède en p une vitesse instantanée. Deux courbes représentent le même vecteur tangent lorsqu'elles ont la même vitesse dans une carte locale. L'ensemble de ces classes de vitesses est l'espace tangent à M en p, noté . Si M est de dimension n, cet espace vectoriel est lui aussi de dimension n.
Quand M est une sous-variété de l'espace euclidien, les vecteurs de peuvent être vus comme les dérivées des courbes de M passant par p. Pour la sphère unité au point p = (0,0,1), la dérivée de l'équation impose une troisième composante nulle : .
La définition par les dérivations est intrinsèque : un vecteur tangent agit sur une fonction lisse en donnant sa dérivée directionnelle en p. La réunion de tous les espaces , lorsque p parcourt M, forme le fibré tangent. Une métrique riemannienne ajoute dans chaque espace tangent un produit scalaire qui mesure longueurs et angles ; elle ne fait pas partie de la définition d'un espace tangent.
De quoi c'est fait
La construction commence par une variété différentiable M et un point de base p. Les courbes lisses de M qui passent par p fournissent ensuite des vitesses. Une relation d'équivalence identifie celles qui ont la même vitesse dans des coordonnées locales : le vecteur tangent retient le mouvement au premier ordre, pas le chemin complet.
L'addition de deux vitesses et leur multiplication par un nombre donnent la structure d'espace vectoriel. Une carte locale choisit une base de calcul, mais cette base dépend des coordonnées ; l'espace tangent lui-même n'en dépend pas. Ces données suffisent à dériver une fonction le long d'un mouvement ou à représenter la valeur d'un champ de vecteurs en p.
Lorsque le point p varie, les espaces tangents s'assemblent en fibré tangent. Une métrique riemannienne peut alors attribuer une longueur et un angle aux vecteurs de façon lisse. Le choix d'un dessin, d'une orientation ou d'une métrique enrichit la structure, mais ne définit pas l'espace tangent.
Un exemple, pas à pas
Déterminons l'espace tangent à la sphère unité au point supérieur.
Données :
La variété est la sphère S2 d'équation x2 + y2 + z2 = 1.
Le point de base est p = (0,0,1).
Deux courbes passent par p : et .
Données :
La variété est la sphère S2 d'équation x2 + y2 + z2 = 1.
Le point de base est p = (0,0,1).
Deux courbes passent par p : et .
1. Chaque courbe reste sur la sphère, car la somme des carrés de ses coordonnées vaut sin2 t + cos2 t = 1, et chacune vaut p lorsque t = 0.
2. Leurs vitesses au paramètre 0 sont et . Elles donnent deux directions tangentes indépendantes.
3. Pour une vitesse v = (a,b,c), dériver l'équation de la sphère au point p donne . Toute vitesse tangente vérifie donc c = 0.
4. Les deux vitesses trouvées engendrent tous les vecteurs (a,b,0). Le résultat est .
5. Le contrôle consiste à prendre un vecteur quelconque (a,b,0) : son produit scalaire avec le rayon p = (0,0,1) vaut 0. Il est donc orthogonal au rayon, comme toute direction tangente à la sphère en p. La représentation affine de cet espace est le plan passant par p d'équation z = 1.
En pratique
Pour étudier un mouvement contraint sur une surface, sa vitesse doit appartenir à l'espace tangent au point courant. On travaille directement avec ces vecteurs lorsque la contrainte géométrique importe ; des coordonnées ambiantes restent préférables si elles permettent de conserver simplement l'équation de la surface.
Pour chercher un extremum d'une fonction sur une variété, on examine ses variations dans les seules directions tangentes. Cette approche est utile lorsque l'espace tangent se calcule aisément ; une paramétrisation locale peut être plus pratique si elle élimine déjà les contraintes.
En géométrie riemannienne, le produit scalaire porté par chaque espace tangent mesure la vitesse d'une courbe et l'angle entre deux directions. On emploie cette structure intrinsèque quand aucune géométrie ambiante n'est privilégiée ; pour une surface plongée dans l'espace euclidien, le produit scalaire usuel peut suffire.
À ne pas confondre
Espace tangent et plan affine tangent. L'espace tangent est un espace vectoriel dont le vecteur nul sert d'origine. Pour la sphère en p = (0,0,1), il s'identifie à z = 0 dans l'espace des vecteurs. Le plan dessiné au contact de la sphère est sa copie translatée par p, d'équation z = 1.
Espace tangent et droite tangente. Une courbe régulière passant par p fournit une seule direction et donc une droite dans l'espace tangent. Sur la sphère, la courbe γ1 fournit la direction (1,0,0), tandis que l'espace tangent contient aussi la direction indépendante (0,1,0).
Espace tangent et espace normal. Les vecteurs tangents décrivent les mouvements autorisés au premier ordre ; les vecteurs normaux leur sont orthogonaux lorsque l'espace ambiant possède un produit scalaire. Au point p de la sphère, (1,0,0) est tangent, alors que (0,0,1) est normal.
Limites et pièges
Au-delà du premier ordre. Le plan tangent approche la sphère près de p, mais il ne reproduit pas sa courbure. Le symptôme est un écart qui grandit quand on s'éloigne du point de contact. Pour étudier cet écart, il faut ajouter des informations de second ordre, comme la seconde forme fondamentale.
En un point singulier. La notion suppose une variété différentiable au voisinage du point. Au croisement de deux droites, deux directions distinctes subsistent sans former la droite tangente d'une variété de dimension 1. Il faut alors décrire séparément les branches ou employer une notion adaptée, telle qu'un cône tangent.
Avec des coordonnées différentes. Les composantes d'un vecteur et les vecteurs de base changent lorsqu'on change de carte. Si les nombres changent alors que la direction géométrique ne change pas, il faut appliquer la différentielle du changement de coordonnées plutôt que conclure à un nouveau vecteur.
Sans métrique. Un espace tangent possède une addition et une multiplication par les scalaires, mais aucune longueur ni orthogonalité canonique. Si un calcul demande un angle ou une norme, il faut préciser le produit scalaire choisi ; en géométrie riemannienne, ce choix varie de façon lisse avec p.
Pour aller plus loin
fibré montre comment des espaces attachés point par point s'assemblent en une structure globale, comme le fibré tangent.
Géométrie riemannienne précise comment un produit scalaire lisse sur les espaces tangents permet de mesurer longueurs et angles.
courbures d'une variété différentiable prolonge l'approximation au premier ordre par l'étude de la manière dont la variété se courbe.
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