GéométrieNotion · Glossaire
fibré
Un espace fibré est la donnée d’espaces topologiques E (espace total), B (base) et F (fibre), et d’une application continue surjective π : E → B, telle que tout point de B possède un voisinage U pour lequel π⁻¹(U) est homéomorphe à U × F de façon compatible avec la projection sur U. Ainsi, chaque fibre π⁻¹(b) ressemble à F : le fibré est localement un produit, sans l’être nécessairement à l’échelle globale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la base, l'espace total, la projection et la fibre type.
- Vérifier la trivialité locale sur un produit simple.
- Distinguer une fibre du fibré entier et un fibré d'un produit global.
En clair
Imaginez deux rails qui suivent le même trajet. Chaque position sur le trajet correspond à deux points, un sur chaque rail. En oubliant le rail choisi, on projette ces deux points vers une seule position de la base. L'ensemble des points placés au-dessus d'une position forme sa fibre.
Un espace fibré généralise cette image. Près de chaque point, l'ensemble ressemble à un produit ordinaire entre un petit morceau de base et une fibre fixe. À l'échelle globale, ces morceaux peuvent toutefois être assemblés sans former un unique produit.
Définition
Un espace fibré comporte un espace total E, un espace de base B et une application continue et surjective, appelée projection et notée π, de E vers B. Pour chaque point b de la base, la préimage π⁻¹(b) est la fibre située au-dessus de b. Toutes les fibres doivent être homéomorphes à un même espace topologique F, appelé fibre type.
La condition décisive est la trivialité locale. Pour tout point de B, il existe un voisinage U dont la préimage π⁻¹(U) est homéomorphe à U × F. Cet homéomorphisme doit respecter la projection : lire la coordonnée dans U revient à appliquer π. Ainsi, le fibré ressemble localement à un produit, même lorsque l'espace total n'est pas globalement de la forme B × F.
Les fibrés vectoriels ajoutent une structure vectorielle aux fibres. Les fibrés principaux et les fibrés tangents d'une variété différentielle constituent deux autres familles fondamentales. Dans tous les cas, la donnée des espaces et de la projection ne suffit pas sans la trivialité locale compatible.
Un exemple, pas à pas
Prenons comme base l'intervalle B = [0, 1] et comme fibre type l'ensemble discret F = {−1, +1}. L'espace total est le produit E = B × F. La projection π envoie chaque couple (x, s) sur sa première coordonnée x. Le modèle comporte donc deux copies de l'intervalle, une pour chaque valeur de s.
1. Choisissons le point x = 1/2 dans la base.
2. Cherchons tous les points de E projetés sur 1/2. On obtient exactement (1/2, −1) et (1/2, +1).
3. La fibre π⁻¹(1/2) possède donc deux points et s'identifie à F. Le même calcul vaut pour tout x de [0, 1].
4. Pour tout voisinage U dans B, la préimage vaut U × F. La trivialité locale est ainsi vérifiée directement. Comme E est déjà B × F, cet exemple est même trivial globalement. Le contrôle consiste à fixer une autre valeur de x : sa préimage contient encore les deux couples (x, −1) et (x, +1).
En pratique
Pour reconnaître un fibré, on commence par identifier la projection. À un point de la base, on associe ensuite sa préimage et l'on vérifie qu'elle a toujours le même type topologique que F. Si le type change, la structure annoncée n'est pas un fibré de fibre type F.
Pour travailler près d'un point, on cherche un voisinage U et une identification de π⁻¹(U) avec U × F qui conserve la coordonnée de base. Cette description locale est préférable à une description globale lorsque l'espace total n'est pas un produit.
Pour tester un exemple simple, le produit B × F sert de modèle de contrôle. Sa projection sur B donne immédiatement les fibres. Il faut toutefois revenir aux cartes locales dès qu'aucune identification globale avec ce produit n'est disponible.
À ne pas confondre
Fibre et espace fibré. Une fibre est la préimage π⁻¹(b) d'un point précis b. Le fibré est toute la structure formée par E, B, π et la fibre type F. Dans l'exemple, les deux points au-dessus de 1/2 forment une fibre ; les deux intervalles et leur projection forment le fibré.
Fibré et produit cartésien. Un produit B × F est un fibré trivial, mais un fibré n'est requis de ressembler à un produit que localement. Le critère qui tranche est l'existence d'une identification globale compatible avec la projection : si elle manque, le fibré n'est pas un produit global.
Limites et pièges
Des fibres semblables ne suffisent pas. Constater que chaque préimage est homéomorphe à F ne prouve pas encore la trivialité locale. Il faut exhiber, autour de chaque point de B, une identification continue avec U × F qui respecte la projection.
La surjectivité est indispensable. Si un point b de B n'a aucun antécédent, sa préimage est vide et ne peut pas être la fibre type non vide annoncée. Il faut alors restreindre la base à l'image de la projection ou renoncer à cette structure de fibré.
Homéomorphe ne signifie pas identique. Les fibres peuvent être des sous-espaces différents de E tout en ayant le même type topologique. Il faut comparer leur structure par un homéomorphisme, et non exiger qu'elles soient le même ensemble de points.
Localement trivial ne signifie pas globalement trivial. Des descriptions en produits peuvent exister sur tous les voisinages sans se recoller en une identification unique E ≅ B × F. Il faut donc vérifier séparément l'existence d'une trivialisation globale.
Pour aller plus loin
La notion d'homéomorphisme précise ce que signifie « avoir la même forme topologique ». Elle permet de lire correctement l'identification des fibres à F et les trivialisations locales avec U × F.
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