courbures d'une variété différentiable

Sur une feuille plane, une flèche que l'on déplace sans la tourner revient inchangée après un petit circuit. Sur une sphère, le même transport peut la ramener tournée. Cet écart révèle une courbure propre à la surface, sans regarder celle-ci depuis l'extérieur.

Le tenseur de Riemann conserve le détail direction par direction. Le tenseur de Ricci additionne une partie de ces informations, puis la courbure scalaire les condense en un nombre au point considéré. On passe ainsi d'une description complète à deux résumés successifs.

Une variété différentiable fournit des coordonnées et permet de dériver, mais elle ne porte pas à elle seule les courbures décrites ici. Il faut la munir d'une métrique riemannienne g, qui mesure longueurs et angles. Cette métrique détermine une connexion, dite de Levi-Civita, et donc une dérivation le long des directions.

Si X et Y désignent deux directions et Z un vecteur, le tenseur de Riemann mesure le défaut de commutation de deux dérivations. Avec une convention de signe courante, il s'écrit : $R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}ZR(X,Y)Z=\backslash nabla\_X\backslash nabla\_YZ-\backslash nabla\_Y\backslash nabla\_XZ-\backslash nabla\_\{[X,Y]\}Z$. Ici, ∇_X désigne la dérivation covariante dans la direction X, et [X,Y] le crochet de Lie des deux directions. Pour un plan tangent P, la courbure sectionnelle K(P) extrait la courbure dans ce plan.

Le tenseur de Ricci, noté Ric, est une contraction du tenseur de Riemann : il additionne les courbures sectionnelles des plans contenant une direction donnée. Sa trace relativement à la métrique est la courbure scalaire, notée Scal : $\mathrm{Scal}={\mathrm{tr}}_g(\mathrm{Ric})\backslash operatorname\{Scal\}=\backslash operatorname\{tr\}\_g(\backslash operatorname\{Ric\})$. Dans une base orthonormée de dimension n, Scal vaut deux fois la somme des K(P) associés aux paires de directions. Ce nombre est donc un résumé, et non toute la courbure. La figure suit ces contractions et les applique à la sphère de rayon 2.

Considérons la sphère ordinaire de rayon r = 2, munie de la métrique induite par l'espace euclidien. Les données sont sa dimension n = 2, un point quelconque et deux vecteurs tangents unitaires perpendiculaires e₁ et e₂.

1. La sphère de rayon r possède la même courbure sectionnelle dans chaque plan tangent : $K=\frac{1}{r^2}=\frac{1}{4}K=\backslash frac\{1\}\{r^2\}=\backslash frac14$.

2. En dimension 2, une direction unitaire n'a qu'une direction perpendiculaire à lui associer. Pour chacun des vecteurs e₁ et e₂, la courbure de Ricci dans cette direction vaut donc 1/4. Ainsi, $\mathrm{Ric}=\frac{1}{4}g\backslash operatorname\{Ric\}=\backslash frac14\; g$.

3. Prenons la trace dans la base orthonormée : $\mathrm{Scal}=\mathrm{Ric}(e_1,e_1)+\mathrm{Ric}(e_2,e_2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\backslash operatorname\{Scal\}=\backslash operatorname\{Ric\}(e\_1,e\_1)+\backslash operatorname\{Ric\}(e\_2,e\_2)=\backslash frac14+\backslash frac14=\backslash frac12$.

4. Le contrôle utilise l'identité propre aux surfaces, Scal = 2K. Elle donne bien 2 × 1/4 = 1/2. Les trois niveaux d'information sont cohérents en tout point de cette sphère.

Pour savoir si une géométrie est localement plate, le tenseur de Riemann est le test décisif : il doit s'annuler. Une courbure scalaire nulle ne suffit généralement pas, car des contributions positives et négatives peuvent se compenser.

Pour comparer le volume de petites boules ou étudier les effets moyennés de focalisation d'une congruence de géodésiques, le tenseur de Ricci retient l'information pertinente sans conserver toutes les composantes de Riemann. Pour décrire l'écart de géodésiques voisines en général, il faut revenir au tenseur de Riemann, par l'équation de Jacobi. Si un plan tangent précis est en jeu, la courbure sectionnelle est plus adaptée.

En relativité générale, la métrique est pseudo-riemannienne et la courbure intervient dans le tenseur d'Einstein. Celui-ci combine Ricci et la courbure scalaire selon $G=\mathrm{Ric}-\frac{1}{2}\mathrm{Scal}gG=\backslash operatorname\{Ric\}-\backslash frac12\backslash operatorname\{Scal\}\backslash ,g$, sous réserve des conventions de signe adoptées.

Variété différentiable et variété riemannienne. Une variété différentiable autorise le calcul différentiel ; une variété riemannienne possède en plus une métrique g. Sans cette donnée supplémentaire, ni la connexion de Levi-Civita ni les courbures associées ne sont déterminées.

Courbure intrinsèque et courbure extrinsèque. Riemann, Ricci et Scal dépendent de la métrique interne. La courbure moyenne d'une surface dépend de son immersion dans un espace ambiant. Un cylindre ordinaire a une courbure intrinsèque nulle, mais il est courbé dans l'espace.

Courbure scalaire et courbure de Gauss. Sur une surface riemannienne, elles portent la même information mais diffèrent d'un facteur : Scal = 2K. Pour la sphère de rayon 2, K = 1/4 tandis que Scal = 1/2.

Scalaire nul. En dimension au moins 3, Scal = 0 n'implique pas que le tenseur de Riemann soit nul. Sur le produit d'une sphère de courbure 1 et d'un plan hyperbolique de courbure −1, les courbures scalaires s'annulent dans la somme, mais chaque facteur reste courbé. Il faut examiner Riemann pour conclure à la platitude locale.

Convention de signe. Certains auteurs définissent le tenseur de Riemann avec le signe opposé. Ricci et Scal changent alors aussi de signe. Avant de comparer deux formules, vérifiez la définition de R(X,Y)Z plutôt que le seul signe affiché.

Coordonnées normales. On peut choisir des coordonnées qui annulent au point considéré les coefficients de connexion de Levi-Civita. Cela n'annule pas leurs dérivées ni la courbure. Le symptôme trompeur est une connexion momentanément nulle ; le bon test reste le tenseur de Riemann.

Cadre pseudo-riemannien. L'espace-temps de la relativité générale n'a pas une métrique définie positive. Les contractions Riemann–Ricci–Scal subsistent, mais les interprétations par distance et par moyenne de plans demandent de tenir compte de la signature et des conventions physiques.

Géométrie riemannienne — Situer la métrique, les géodésiques et les outils dont dérivent les courbures intrinsèques.

Courbure géodésique — Distinguer la courbure d'une courbe tracée sur une surface des contractions du tenseur de Riemann.