champ de tenseurs

Imaginez une carte où une petite flèche est attachée à chaque lieu. La flèche peut indiquer une direction et une intensité, différentes d'un point à l'autre. L'ensemble de ces flèches forme un champ de vecteurs.

Un champ de tenseurs généralise cette idée : chaque point reçoit toujours le même genre d'objet mathématique, mais sa valeur peut varier. Cet objet peut être un nombre, un vecteur, un covecteur ou un tenseur comportant davantage de directions. Le champ décrit ainsi une information répartie sur tout un espace courbe.

Soit une variété différentielle, c'est-à-dire un espace qui ressemble localement à un espace euclidien et sur lequel on peut dériver. Notons-la M. À chaque point p de M est associé un espace tangent, noté T_pM, et son espace dual, noté T^*_pM. Un champ de tenseurs de type fixé (r, s) choisit en chaque point un tenseur possédant r facteurs tangents et s facteurs cotangents : Les entiers r et s restent les mêmes sur toute la variété.

Pour constituer un champ différentiable, cette attribution doit varier de façon lisse dans les coordonnées locales. Un champ scalaire correspond au type (0, 0). Un champ de vecteurs a le type (1, 0), tandis qu'un champ de covecteurs, aussi appelé forme différentielle de degré 1, a le type (0, 1). Les types où r + s est supérieur à 1 donnent des champs de tenseurs d'ordre supérieur.

Les composantes numériques d'un tenseur dépendent du système de coordonnées, mais l'objet géométrique qu'elles représentent n'en dépend pas. Cette distinction permet de décrire une même géométrie dans plusieurs repères. En relativité générale, le tenseur de courbure et le tenseur énergie-impulsion sont des champs de tenseurs fondamentaux.

Prenons le plan muni de ses coordonnées usuelles x et y. À chaque point de coordonnées (x, y), on attache le vecteur dont les composantes sont −y et x. Ce champ de vecteurs est un champ de tenseurs de type (1, 0). Le schéma échantillonne quatre de ses valeurs sur le cercle unité.

1. Les données sont le point courant (x, y) et la règle $X(x,y)=(-y,x)X(x,y)=(-y,x)$. La règle est identique en tout point ; seule la valeur obtenue change.

2. Au point A de coordonnées (1, 0), on remplace x par 1 et y par 0 : $X(1,0)=(0,1)X(1,0)=(0,1)$. Le vecteur pointe vers le haut.

3. Au point B de coordonnées (0, 1), le même calcul donne $X(0,1)=(-1,0)X(0,1)=(-1,0)$. Le vecteur pointe vers la gauche.

4. Aux points C = (−1, 0) et D = (0, −1), on obtient respectivement (0, −1) et (1, 0). Les quatre vecteurs sont tangents au cercle et ont une longueur égale à 1.

Le contrôle se refait en calculant le produit scalaire entre (x, y) et (−y, x) : −xy + xy = 0. En tout point non nul, le vecteur est donc perpendiculaire au rayon et tangent au cercle centré à l'origine qui passe par ce point, pas seulement aux quatre points dessinés. À l'origine, X(0, 0) = (0, 0) : le vecteur est nul et ne définit aucune direction.

Pour décrire une quantité unique en chaque point, comme une valeur numérique répartie sur une surface, un champ scalaire suffit. Un champ de tenseurs d'ordre supérieur devient utile lorsque l'information possède plusieurs directions liées entre elles.

Quand l'information observée est une direction avec une intensité, on choisit un champ de vecteurs. Dans l'exemple du plan, la flèche X(x, y) indique, en tout point différent de l'origine, une direction tangente au cercle centré à l'origine qui passe par ce point. À l'origine, X(0, 0) est le vecteur nul et n'indique aucune direction.

En géométrie différentielle, un champ tensoriel permet de comparer ou de combiner des directions point par point. En relativité générale, les champs de courbure et d'énergie-impulsion sont préférés à un simple champ vectoriel parce que l'information à encoder dépend de plusieurs directions.

Tenseur et champ de tenseurs. Un tenseur appartient à un point déterminé ; un champ en fournit un à chaque point d'un domaine. La donnée X(1, 0) = (0, 1) est un vecteur, tandis que la règle X(x, y) = (−y, x) définit le champ entier.

Champ scalaire et champ de vecteurs. Le premier associe un nombre à chaque point ; le second associe un vecteur. Si une valeur seule décrit l'information, le type (0, 0) convient. Si la direction est modélisée par un vecteur tangent, le type (1, 0) convient.

Covecteur et forme différentielle quelconque. Un champ de covecteurs est précisément une forme différentielle de degré 1. Une forme de degré k supérieur à 1 est un champ de tenseurs covariants antisymétriques d'ordre k, et non un champ de covecteurs.

Une attribution point par point ne suffit pas toujours. Si les valeurs sautent brutalement, on obtient bien une famille de tenseurs, mais pas un champ différentiable. Il faut vérifier la régularité de ses composantes dans les cartes locales.

Le type ne change pas en chemin. Un nombre en un point et un vecteur au point voisin n'appartiennent pas au même fibré tensoriel. Il faut choisir un type (r, s) fixe, ou décrire séparément plusieurs champs.

Les composantes ne sont pas l'objet. Un changement de coordonnées modifie la liste des composantes selon la loi tensorielle. Comparer directement deux listes issues de repères différents peut donc créer une fausse contradiction ; il faut d'abord les exprimer dans un même repère.

Une valeur nulle reste une valeur valide. Le champ X(x, y) = (−y, x) s'annule à l'origine sans cesser d'être lisse. Il ne faut pas conclure qu'un champ disparaît de son domaine parce qu'il possède un zéro.

Le glossaire tenseur précise l'objet attaché à chaque point et la manière dont ses composantes encodent des relations multilinéaires.

Le champ scalaire présente le cas de type (0, 0), où chaque point reçoit une seule valeur numérique.

Le champ de vecteurs approfondit le type (1, 0), illustré ici par les flèches tangentes aux cercles.