AlgèbreNotion · Glossaire
champ scalaire
Un champ scalaire est une application qui associe à chaque point d’un espace ou d’une variété une valeur scalaire, réelle ou complexe. Il représente ainsi une grandeur sans direction qui varie d’un point à l’autre ; s’il est réel et différentiable sur une variété munie d’une métrique riemannienne suffisamment régulière, son gradient, lorsqu’il est non nul, indique la direction de l’augmentation locale la plus rapide et son intensité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un champ scalaire à une valeur unique attribuée à chaque point.
- Lire des lignes de niveau et distinguer champ scalaire, champ vectoriel et gradient.
- Calculer les valeurs et le gradient d'un champ de température affine.
- Interpréter la direction et la norme du gradient dans un repère euclidien.
- Repérer les limites liées à la différentiabilité, à la connexité et à la métrique.
En clair
Imaginez le sol d'une pièce quadrillé. Un thermomètre posé en chaque point y donnerait un seul nombre : la température. L'ensemble de ces valeurs forme un champ scalaire.
Sur une carte, des lignes peuvent relier les points de même température. Les franchir fait varier la valeur. Lorsque les niveaux sont régulièrement espacés et l'échelle spatiale comparable, leur resserrement traduit une variation plus forte. Une flèche appelée gradient indique localement la direction où elle augmente le plus vite ; sa longueur traduit l'intensité de cette hausse.
Définition
Soit V un espace ou une variété. Un champ scalaire sur V associe à chaque point p de V une unique valeur scalaire, réelle ou complexe. En notant f le champ, cette association s'écrit , ou avec ℝ remplacé par ℂ. La valeur f(p) dépend du point, mais elle ne possède ni direction ni orientation.
La température, la pression atmosphérique et le potentiel gravitationnel fournissent des modèles physiques de champs scalaires. L'unité appartient à la grandeur représentée : le mot « scalaire » ne signifie pas « sans unité ». En langage tensoriel, un champ scalaire est un champ de tenseurs d'ordre 0.
Si le champ réel est différentiable et si V est une variété munie d'une métrique riemannienne suffisamment régulière, son gradient est le champ de vecteurs qui représente ses variations. Dans le plan euclidien muni de coordonnées x et y, il réunit les deux dérivées partielles : . Lorsqu'il est non nul, il pointe vers l'augmentation locale la plus rapide et sa norme donne le taux maximal de variation par unité de distance.
Un exemple, pas à pas
Dans une zone plane, les coordonnées x et y sont mesurées en mètres. La température T, en degrés Celsius, est modélisée par . Les points étudiés sont A de coordonnées (0, 0), B de coordonnées (2, 1) et C de coordonnées (0, 1).
1. Au point A, T(0, 0) = 20 °C. Au point B, T(2, 1) = 20 − 2 + 2 = 20 °C. A et B appartiennent donc à la même ligne de niveau.
2. Au point C, T(0, 1) = 20 + 2 = 22 °C. Un déplacement d'un mètre de A vers C augmente ici la température de 2 °C.
3. Les dérivées partielles par rapport à x et à y valent respectivement −1 et 2. Dans le repère euclidien choisi, °C/m. La figure montre que ce vecteur est perpendiculaire aux lignes de température constante.
4. Son intensité vaut °C/m, soit environ 2,24 °C/m. Contrôle : pour un déplacement unitaire de composantes −1/√5 et 2/√5 m, la hausse calculée est exactement √5 °C.
En pratique
Pour lire une carte de température ou de pression, on repère d'abord les lignes de niveau. À intervalles de niveaux égaux, pour une même métrique et une échelle spatiale comparable, des lignes resserrées signalent une variation forte ; des lignes espacées, une variation plus faible.
Pour chercher la direction de hausse la plus rapide, on calcule le gradient lorsque le champ est différentiable et qu'une métrique est fixée. Si seule la valeur en chaque point importe, le champ scalaire suffit ; si une direction physique est attachée à chaque point, il faut un champ vectoriel.
Pour comparer un modèle à des mesures, on évalue le champ aux positions observées, dans les mêmes unités et le même repère. L'accord se juge à la précision des instruments, pas par une égalité artificiellement exacte.
À ne pas confondre
Champ scalaire et champ vectoriel. Le premier attribue un nombre à chaque point ; le second y attribue un vecteur. Une carte de température est scalaire, tandis qu'une carte donnant vitesse et direction du vent est vectorielle.
Champ scalaire et gradient. Le champ contient les valeurs ; son gradient, lorsqu'il est défini, contient des vecteurs de variation. Dans l'exemple, T vaut 20 °C en B, alors que son gradient y vaut (−1, 2) °C/m.
Scalaire et champ constant. « Scalaire » décrit le type de valeur, non son immobilité. La fonction T(x, y) = 20 − x + 2y est scalaire et varie pourtant avec la position.
Limites et pièges
Gradient nul. Si le gradient vaut le vecteur nul en un point, aucune direction n'y donne une croissance au premier ordre. Cela ne prouve ni que le champ est constant autour du point, ni que ce point est un maximum. Il faut examiner les termes d'ordre supérieur ou les valeurs voisines.
Champ non différentiable. Une valeur scalaire peut être définie partout sans posséder de gradient partout. Au bord d'une rupture ou d'une pointe, les dérivées requises peuvent manquer ; on étudie alors des variations directionnelles ou une notion adaptée au problème.
Domaine et composantes. Un gradient nul sur tout un domaine ouvert implique une valeur constante sur chaque composante connexe, pas nécessairement la même valeur sur des morceaux séparés. Il faut donc vérifier la connexité avant de conclure à une constante globale.
Coordonnées et métrique. La valeur du champ en un point ne dépend pas de la carte de coordonnées. En revanche, les composantes et la norme du gradient dépendent du repère et de la métrique choisis ; les formules cartésiennes ne se recopient pas telles quelles dans tout système.
Pour aller plus loin
Le glossaire tenseur situe les scalaires parmi les tenseurs et éclaire l'expression « ordre 0 ».
L'article Méthode du gradient : skier pour minimiser montre comment le gradient d'un champ scalaire guide une recherche de minimum.
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