tenseur métrique

Sur une feuille quadrillée, un pas horizontal et un pas vertical semblent avoir la même longueur. Une autre règle de mesure peut décider qu’un pas horizontal compte deux fois plus. Le cercle unité devient alors une ellipse dans le quadrillage habituel.

Le tenseur métrique est cette règle locale. Il reçoit deux directions et leur associe un nombre. Avec une seule direction prise deux fois, il donne une longueur au carré ; avec deux directions, il détermine aussi leur angle.

Sur un espace vectoriel réel E de dimension finie, un tenseur métrique est une forme bilinéaire g qui associe un réel à deux vecteurs. Bilinéaire signifie que g est linéaire séparément par rapport à chacun de ses deux arguments. C’est donc un tenseur d’ordre 2.

La forme est symétrique : échanger les vecteurs ne change pas le résultat. Elle est positive : pour tout vecteur u, le nombre g(u,u) est positif ou nul. Elle est non dégénérée : si g(u,v) vaut zéro pour tout vecteur v, alors u est le vecteur nul. Sur un espace réel, les deux dernières conditions imposent ensemble que g(u,u) soit strictement positif dès que u n’est pas nul. La quantité $\parallel u{\parallel }_g=\sqrt{g(u,u)}\backslash lVert\; u\backslash rVert\_g=\backslash sqrt\{g(u,u)\}$ définit alors la norme associée.

Sur une variété différentielle, une métrique riemannienne attribue une telle forme à chaque espace tangent, avec des coefficients qui varient de façon lisse d’un point à l’autre. Elle mesure ainsi longueurs et angles localement ; ces mesures servent ensuite à étudier les courbes et la courbure.

Quatre éléments structurent la métrique. L’espace vectoriel fournit les vecteurs à mesurer. La forme bilinéaire combine deux vecteurs. La symétrie garantit que l’ordre de ces vecteurs est indifférent. La positivité non dégénérée fait de g(u,u) une véritable longueur au carré.

Après le choix d’une base, la forme est représentée par une matrice réelle G. La symétrie de g rend G symétrique, tandis que la positivité non dégénérée rend toutes ses directions strictement positives. Pour des vecteurs-colonnes u et v, le calcul s’écrit : $g(u,v)=u^{\mathsf{T}}Gvg(u,v)=u^\{\backslash mathsf\; T\}Gv$.

La matrice dépend de la base choisie, mais la règle bilinéaire ne dépend pas de cette écriture. Ces données suffisent à calculer normes et angles. Sur une variété, il faut en plus une matrice en chaque point et une variation lisse de ses coefficients.

Dans le plan ℝ², on choisit la base usuelle. La métrique a pour matrice G diagonale, avec 4 horizontalement et 1 verticalement. Les deux vecteurs étudiés sont u = (1,0) et v = (1,1).

1. La matrice et les vecteurs sont :

2. La longueur de u vaut 2, car g(u,u) = 4. Celle de v vaut √5, car g(v,v) = 5.

3. Le produit métrique vaut g(u,v) = 4. Si θ désigne l’angle entre les deux vecteurs, alors : $\cos \theta =\frac{g(u,v)}{\parallel u{\parallel }_g\parallel v{\parallel }_g}=\frac{2}{\sqrt{5}}\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{g(u,v)\}\{\backslash lVert\; u\backslash rVert\_g\backslash lVert\; v\backslash rVert\_g\}=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt5\}$. L’angle vaut donc environ 26,6°.

4. Un vecteur de coordonnées (x,y) est de longueur métrique 1 lorsque 4x² + y² = 1. Le contour unité est une ellipse de demi-axe horizontal 1/2 et de demi-axe vertical 1.

Le contrôle est direct : les points (1/2,0) et (0,1) vérifient chacun l’équation. La figure matérialise cette déformation de la mesure sans modifier les coordonnées du plan.

Pour mesurer une courbe sur une surface, on découpe mentalement son trajet en petits vecteurs tangents. La métrique donne la longueur de chacun, puis leur accumulation donne la longueur de la courbe. L’expression euclidienne usuelle s’applique lorsque, dans le domaine et les coordonnées considérés, la métrique prend cette forme ; pour une distance entre deux points, il faut aussi tenir compte des chemins admissibles dans le domaine.

Pour comparer deux directions tangentes, on calcule leur produit métrique et leurs normes. Un résultat nul signale leur orthogonalité pour cette métrique. L’orthogonalité euclidienne ordinaire ne convient pas si les coefficients de la métrique pondèrent différemment les directions.

Dans un calcul en coordonnées, on utilise la matrice G au point considéré. Si l’on change de coordonnées, on transforme aussi les composantes de G ; conserver l’ancienne matrice donnerait des longueurs dépendantes de l’écriture choisie.

Un produit scalaire est précisément une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel réel. Une métrique riemannienne en fournit un dans chaque espace tangent et exige leur variation lisse. Sur un seul espace vectoriel fixé, les deux expressions décrivent donc la même structure.

Une distance associe directement un nombre à deux points et satisfait notamment l’inégalité triangulaire. Le tenseur métrique agit d’abord sur deux vecteurs tangents au même point. Pour deux points reliés par des courbes admissibles, leur distance est l’infimum des longueurs de ces courbes ; cet infimum n’est pas nécessairement atteint par une courbe minimisante.

Un tenseur d’ordre 2 quelconque n’est pas nécessairement une métrique. La matrice antisymétrique de coefficients 0, 1, −1 et 0 fournit une forme bilinéaire, mais elle n’est ni symétrique ni positive définie.

Une matrice symétrique seulement positive au sens large peut rester dégénérée. Avec la matrice diagonale de coefficients 1 et 0, le vecteur non nul (0,1) a une longueur nulle. Le remède est de vérifier la non-dégénérescence, ou de travailler explicitement avec une forme semi-définie plutôt qu’avec une métrique riemannienne.

La non-dégénérescence ne suffit pas à assurer des longueurs réelles positives. La matrice diagonale de coefficients 1 et −1 est non dégénérée, mais le vecteur (0,1) donne −1 lorsqu’il est pris deux fois. Cette forme relève d’une métrique indéfinie, pas d’une métrique riemannienne positive.

Les coefficients d’une métrique ne sont pas des nombres absolus. Ils changent avec la base ou les coordonnées, alors que les longueurs géométriques restent les mêmes si tous les objets sont transformés correctement. Comparer deux matrices terme à terme sans tenir compte du changement de base est donc trompeur.

Sur une variété, une bonne matrice en un point ne suffit pas. La forme doit être positive définie en chaque point et ses coefficients doivent varier de façon lisse. Si une valeur propre atteint zéro, même en un seul point, la métrique riemannienne y devient dégénérée.

La fiche sur le produit scalaire approfondit la structure obtenue lorsqu’une métrique est fixée sur un seul espace vectoriel.

La forme bilinéaire replace la métrique dans une famille plus large et aide à repérer exactement le rôle de la symétrie et de la positivité.

L’article Le tenseur : un outil indispensable élargit la perspective au langage tensoriel dont le tenseur métrique est un cas d’ordre 2.