AlgèbreNotion · Glossaire
forme définie positive
Sur un espace vectoriel réel E, une forme bilinéaire symétrique f est définie positive si f(x, x) > 0 pour tout vecteur x non nul, ou, de façon équivalente, si f(x, x) ≥ 0 avec égalité seulement pour x = 0. Elle joue le rôle d'un produit scalaire : f(x, x) représente une longueur au carré et permet notamment de définir une norme.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les deux conditions de la positivité définie.
- Vérifier une forme matricielle par un développement en somme de carrés.
- Distinguer positivité définie, semi-définie et simple inversibilité.
- Identifier le cadre hermitien nécessaire sur les espaces complexes.
En clair
Imaginez une flèche tracée depuis l'origine. Une forme définie positive lui associe une valeur toujours positive, sauf lorsque la flèche est réduite au point de départ. Cette valeur se comporte comme une longueur au carré : sa racine carrée donne une longueur.
La forme tient aussi compte de la direction. Elle peut donc mesurer les angles et les écarts dans une géométrie où certaines directions pèsent davantage que d'autres.
Définition
Sur un espace vectoriel réel E, une forme bilinéaire symétrique f associe un nombre réel à deux vecteurs, linéairement par rapport à chacun. Elle est définie positive lorsque tout vecteur non nul x donne une valeur strictement positive sur la diagonale : . De façon équivalente, pour tout x, et l'égalité impose x = 0.
Dans une base de dimension finie, f est représentée par une matrice symétrique A et la valeur associée au vecteur-colonne x est :
La positivité définie permet alors de poser . La bilinéarité et la symétrie donnent un produit scalaire réel, donc aussi des angles.
Sur un espace vectoriel complexe, l'analogue pertinent n'est pas une forme bilinéaire symétrique, mais une forme hermitienne, sesquilinéaire et à symétrie conjuguée. Sa valeur diagonale est réelle et strictement positive pour tout vecteur non nul.
Un exemple, pas à pas
Considérons le vecteur-colonne x de coordonnées (a, b) et la matrice symétrique A dont la première ligne est (2, −1) et la seconde (−1, 2). Prenons ensuite le vecteur de coordonnées (1, 2).
1. Développons la forme quadratique associée :
Cette somme ne peut s'annuler que si a et b sont tous deux nuls. La matrice, et donc la forme correspondante, est définie positive.
2. Pour le vecteur (1, 2), le calcul donne . Sa norme associée vaut donc exactement √6.
3. Un contrôle indépendant consiste à calculer (1 − 2)2 + 12 + 22 : on retrouve 1 + 1 + 4 = 6. Le contour de niveau 6 est une ellipse passant par (1, 2), ce qui rend visible la pondération différente des directions.
En pratique
En optimisation, pour une fonction suffisamment régulière, la matrice des courbures locales est examinée en un point critique. Lorsqu'elle y est définie positive, ce point est un minimum local strict ; une matrice indéfinie signale au contraire des directions de hausse et de baisse.
Pour mesurer la taille d'un vecteur, une forme définie positive fournit une norme adaptée au problème. La norme euclidienne convient lorsque toutes les directions ont le même poids ; une autre forme est préférable lorsque les axes ont des échelles ou des couplages différents.
En géométrie différentielle, une forme définie positive choisie sur chaque espace tangent mesure localement longueurs et angles. Si une direction non nulle reçoit une longueur nulle, cette construction ne définit plus une métrique riemannienne.
À ne pas confondre
Forme définie positive et forme semi-définie positive. La première donne une valeur strictement positive à tout vecteur non nul. La seconde autorise des vecteurs non nuls de valeur nulle. Ainsi, la forme (a, b) ↦ a2 est semi-définie positive, mais pas définie positive, car (0, 1) donne 0.
Forme définie positive et matrice à coefficients positifs. Le signe des coefficients ne suffit pas. La matrice identité a des coefficients hors diagonale nuls et reste définie positive ; inversement, en dimension 2, une matrice dont tous les coefficients valent 1 n'est que semi-définie positive, puisque le vecteur (1, −1) donne 0.
Positivité définie et inversibilité. Une matrice symétrique définie positive est inversible, mais la réciproque est fausse. La matrice diagonale de coefficients 1 et −1 est inversible, alors que le vecteur (0, 1) lui associe la valeur −1.
Limites et pièges
Tester seulement les vecteurs de base ne suffit pas. Des valeurs positives sur (1, 0) et (0, 1) contrôlent seulement la diagonale d'une matrice. Avec la matrice dont les lignes sont (1, 2) et (2, 1), ces deux tests donnent 1, mais le vecteur (1, −1) donne −2. Il faut un critère valable pour tout vecteur.
L'annulation est le cas charnière. Une valeur jamais négative ne garantit qu'une semi-définition positive. Dès qu'un vecteur non nul donne exactement 0, la racine carrée de la forme ne sépare plus ce vecteur du vecteur nul et n'est pas une norme.
Le cadre complexe change la symétrie. L'ordre « supérieur ou égal à zéro » ne s'applique pas à un nombre complexe quelconque. Il faut employer une forme hermitienne, dont les valeurs diagonales sont réelles, et non transposer sans changement la définition bilinéaire réelle.
En dimension infinie, la stricte positivité ne donne pas toujours un contrôle uniforme. Des vecteurs de norme usuelle 1 peuvent recevoir des valeurs positives qui tendent vers 0. Pour comparer uniformément deux normes, il faut une minoration par une constante strictement positive, hypothèse plus forte.
Pour aller plus loin
Le produit scalaire montre comment une forme définie positive construit longueurs, orthogonalité et angles dans le cadre réel.
La fiche sur la norme précise les propriétés que doit satisfaire la longueur obtenue par racine carrée.
Les valeurs propres donnent, pour une matrice symétrique réelle, un critère spectral : elles doivent toutes être strictement positives.
La forme hermitienne fournit le cadre correct pour prolonger la notion aux espaces vectoriels complexes.
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