forme sesquilinéaire

Prenons deux listes de nombres complexes et combinons-les pour obtenir un seul nombre complexe. Dans la seconde liste, multiplier toutes les valeurs par un nombre multiplie le résultat par ce même nombre. Dans la première, une petite torsion intervient : le multiplicateur est remplacé par son conjugué, qui inverse le signe de sa partie imaginaire.

Cette règle asymétrique caractérise une forme sesquilinéaire. Elle ressemble donc à une forme bilinéaire, mais tient compte de la conjugaison propre aux nombres complexes.

Soit E un espace vectoriel complexe. Une forme sesquilinéaire est une application f qui associe un nombre complexe à chaque couple de vecteurs de E. Dans la convention retenue ici, la première variable est antilinéaire et la seconde est linéaire.

Pour tous vecteurs x, x′ et y de E, et pour tout nombre complexe k, l'additivité et la conjugaison dans la première variable donnent $f(x+k{x}^{\mathrm{\prime }},y)=f(x,y)+\bar{k}f(x^{\mathrm{\prime }},y)f(x+kx\text{'},y)=f(x,y)+\backslash overline\{k\}f(x\text{'},y)$. Pour tous vecteurs x, y et y′, la linéarité dans la seconde variable donne $f(x,y+k{y}^{\mathrm{\prime }})=f(x,y)+kf(x,y^{\mathrm{\prime }})f(x,y+ky\text{'})=f(x,y)+kf(x,y\text{'})$. Le symbole $\bar{k}\backslash overline\{k\}$ désigne le conjugué de k.

Le préfixe « sesqui », qui signifie « une fois et demie », évoque cette combinaison d'une variable linéaire et d'une variable antilinéaire. Une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire qui vérifie en plus une symétrie par conjugaison. Certains ouvrages inversent les deux conventions : leur première variable est linéaire et leur seconde antilinéaire.

Dans l'espace ℂ², considérons la forme f définie par $f(x,y)=\overline{x_1}{y}_1+2\overline{x_2}{y}_{2}f(x,y)=\backslash overline\{x\_1\}y\_1+2\backslash overline\{x\_2\}y\_2$. Les données sont le vecteur x = (1, i), le vecteur y = (2, 1) et le scalaire i, dont le conjugué vaut −i.

1. On conjugue les coordonnées de x : (1, i) devient (1, −i).
2. On multiplie coordonnée par coordonnée : 1 × 2 = 2 et 2 × (−i) × 1 = −2i.
3. On additionne les deux termes : f(x, y) = 2 − 2i.

Un premier contrôle consiste à multiplier x par i. Le calcul direct donne f(ix, y) = −2 − 2i, comme $\bar{i}f(x,y)=-i(2-2i)=-2-2i\backslash overline\{i\}f(x,y)=-i(2-2i)=-2-2i$. En multipliant plutôt y par i, on obtient f(x, iy) = 2 + 2i, comme $if(x,y)=i(2-2i)=2+2iif(x,y)=i(2-2i)=2+2i$. La figure synthétise cette différence entre les deux places.

Pour examiner une formule à deux vecteurs complexes, on peut multiplier séparément chaque variable par i. Ce test n'indique la variable antilinéaire que si les expressions obtenues permettent effectivement de distinguer les facteurs −i et i. Pour conclure à la sesquilinéarité, il faut vérifier les identités d'additivité et d'homogénéité pour tous les vecteurs et tous les scalaires.

Dans un calcul matriciel, une expression du type ${\bar{x}}^{\mathsf{T}}Ay\backslash overline\{x\}^\{\backslash mathsf\; T\}Ay$, où A est une matrice complexe, fournit une forme sesquilinéaire. On vérifie ensuite la matrice A pour savoir si la forme possède des propriétés supplémentaires, comme le caractère hermitien ou la positivité.

Avant d'utiliser une formule issue d'un autre ouvrage, on repère quelle variable reçoit la conjugaison. Ce contrôle évite de transposer directement une identité écrite avec la convention opposée.

Forme bilinéaire complexe. Elle est linéaire dans les deux variables. Le test avec i tranche : une forme bilinéaire vérifie b(ix, y) = ib(x, y), tandis que la convention sesquilinéaire de cette fiche donne f(ix, y) = −if(x, y).

Forme hermitienne. Toute forme hermitienne est sesquilinéaire, mais la réciproque est fausse. Il faut aussi vérifier $f(y,x)=\overline{f(x,y)}f(y,x)=\backslash overline\{f(x,y)\}$ pour tous les vecteurs x et y.

Produit scalaire complexe. Il ajoute notamment une condition de positivité et ne s'annule sur (x, x) que lorsque x est nul. Une forme sesquilinéaire quelconque peut échouer à ces tests.

Convention inversée. La conjugaison peut porter sur la seconde variable selon les auteurs : c'est alors le scalaire qui multiplie cette seconde variable qui ressort conjugué. Il faut fixer la convention avant de comparer deux formules.

Restriction aux scalaires réels. Pour un nombre réel k, son conjugué est encore k. Les deux comportements deviennent alors indiscernables avec ce seul test ; il faut employer un scalaire non réel, par exemple i.

Forme nulle. L'application qui vaut toujours zéro satisfait les règles de sesquilinéarité, mais le test des facteurs ne révèle pas quelle place est antilinéaire. Il faut lire la convention ou étudier une valeur non nulle lorsqu'elle existe.

Valeurs diagonales. Une forme sesquilinéaire générale peut donner un nombre non réel pour f(x, x). Il ne faut conclure à une longueur ou à une positivité qu'après avoir vérifié les propriétés supplémentaires requises.

La forme hermitienne ajoute une symétrie par conjugaison et précise pourquoi les valeurs diagonales deviennent réelles.

Le produit scalaire montre comment la positivité transforme une forme adaptée en outil de longueur et d'orthogonalité.

L'espace vectoriel replace les vecteurs, les scalaires et la linéarité dans la structure sur laquelle agit une forme sesquilinéaire.