déplacement - application -

Imaginez une feuille transparente posée sur un dessin. Vous pouvez la faire glisser ou la tourner, sans étirer ni déformer la figure. Les distances restent les mêmes et l'ordre gauche-droite des points ne s'inverse pas. Cette transformation est un déplacement au sens géométrique.

Dans le plan, ce geste prend la forme d'une translation ou d'une rotation. Dans l'espace, il peut aussi combiner une rotation autour d'un axe et une translation le long de cet axe : c'est un vissage.

Un déplacement est une application d'un espace affine euclidien orienté sur lui-même qui est à la fois une isométrie et une transformation conservant l'orientation. Dire que l'application est une isométrie signifie que, pour tous points P et Q, la distance entre leurs images est égale à leur distance initiale : $d(f(P),f(Q))=d(P,Q)d(f(P),f(Q))=d(P,Q)$. La seconde condition exclut les transformations qui renversent l'orientation.

La composée de deux déplacements est encore un déplacement. Avec la composition des applications, tous les déplacements forment donc un groupe. Dans le plan, chaque déplacement est une translation ou une rotation. Les translations y forment un sous-groupe distingué du groupe des déplacements.

Dans l'espace de dimension trois, les formes à distinguer sont la translation, la rotation autour d'un axe et le déplacement hélicoïdal, aussi appelé vissage. Ce dernier associe une rotation autour d'un axe à une translation suivant cet axe.

Quatre éléments structurent la notion. L'espace affine euclidien fournit les points et les distances. Son orientation fixe ce que signifie conserver ou renverser le sens de l'espace. L'application associe à chaque point son image. La composition permet d'enchaîner deux applications.

La métrique euclidienne rend vérifiable la conservation des distances, tandis que l'orientation rend vérifiable le caractère direct de l'application. Ces deux tests sont nécessaires pour reconnaître un déplacement. La composition dépend des applications choisies et produit encore un déplacement ; elle donne au tout sa structure de groupe. Le tracé, la couleur et l'échelle d'une figure n'entrent pas dans cette définition.

Dans un plan orienté muni d'un repère orthonormé, on considère le point O d'origine et le point A de coordonnées (2 ; 1). L'application choisie est la rotation de centre O et d'angle +90°.

1. Une rotation de +90° transforme les coordonnées (x ; y) en (−y ; x). La règle s'écrit :

2. En appliquant cette règle à A, on obtient A′ de coordonnées (−1 ; 2).

3. La distance OA vaut √(2² + 1²) = √5. La distance OA′ vaut √((−1)² + 2²) = √5. La distance au centre est donc conservée.

4. Le sens positif de rotation est respecté : l'orientation n'est pas renversée. Cette application est donc un déplacement. Le contrôle se refait en vérifiant que deux quarts de tour successifs envoient A sur (−2 ; −1), sans changer sa distance √5 à O.

Pour déplacer une figure plane sans la retourner, on repère d'abord si tous ses points subissent le même glissement. Dans ce cas, une translation convient.

Si la figure tourne autour d'un point fixe, on choisit plutôt une rotation. Le centre reste immobile et chaque point conserve sa distance à ce centre.

Dans l'espace, une rotation accompagnée d'un glissement le long du même axe conduit à un vissage. Si le glissement disparaît, il reste une rotation autour de l'axe ; si la rotation disparaît, il reste une translation.

Déplacement et retournement. Tous deux conservent les distances, mais seul le déplacement conserve l'orientation. Une rotation plane est un déplacement ; une réflexion par rapport à une droite est un retournement, car elle inverse l'orientation.

Déplacement affine et isométrie vectorielle. Le déplacement agit sur les points d'un espace affine. Une isométrie vectorielle agit sur les vecteurs d'un espace euclidien vectoriel et fixe nécessairement le vecteur nul. La présence d'une translation non nulle tranche : elle est affine, mais pas linéaire.

Cas identité. Une translation de vecteur nul ou une rotation d'angle 0° ne produit aucun changement visible. L'application identité reste pourtant un déplacement ; il faut tester ses propriétés, pas l'ampleur apparente du mouvement.

Orientation indispensable. L'expression « conserve l'orientation » suppose que l'espace ait été orienté. Sans ce choix préalable, le critère direct ou indirect n'est pas formulé ; on parle d'abord d'isométrie.

Ordre des compositions. Enchaîner une rotation puis une translation ne donne pas toujours la même application que les effectuer dans l'ordre inverse. Il faut écrire explicitement l'ordre de composition et calculer l'image d'un même point test.

Vissage dégénéré. En dimension trois, un vissage peut perdre l'une de ses composantes. Une translation nulle donne une rotation autour de l'axe ; une rotation d'angle 0° donne une translation suivant cet axe. Il faut alors nommer la forme réduite observée.

Le déplacement hélicoïdal approfondit le cas propre à la dimension trois où rotation autour d'un axe et translation le long de cet axe sont réunies.

L'isométrie vectorielle permet de comparer le cadre affine des déplacements avec le cadre vectoriel, où l'application agit sur des vecteurs et fixe le vecteur nul.