déplacement hélicoïdal

Imaginez un point qui tourne de 90° autour d'un axe vertical tout en montant de 2 cm le long de cet axe. Les deux gestes réunis forment un déplacement hélicoïdal, aussi nommé vissage. Après quatre déplacements identiques, le point a accompli un tour et gagné 8 cm en hauteur.

La rotation et la translation peuvent être effectuées dans l'ordre inverse : le résultat reste le même, car la translation suit l'axe de rotation. Si l'avance croît proportionnellement à l'angle, un point extérieur à l'axe dessine une hélice.

Dans l'espace euclidien à trois dimensions, un déplacement hélicoïdal est la composée d'une rotation autour d'un axe Δ et d'une translation de vecteur parallèle à Δ. La rotation conserve chaque point de l'axe, tandis que la translation le fait avancer le long de cet axe. Comme une rotation laisse inchangé tout vecteur parallèle à son axe, les deux transformations commutent : leur ordre ne modifie pas le point obtenu.

Notons R la rotation et u le vecteur de translation. Pour tout point M, le vissage S vérifie $S(M)=R(M)+uS(M)=R(M)+u$. Le vecteur u est supposé parallèle à Δ ; on a alors R(u) = u. L'angle de rotation, l'axe et la translation axiale déterminent le mouvement, sous réserve des conventions équivalentes sur l'orientation de l'axe et sur l'angle modulo un tour.

Un déplacement de l'espace ayant un point fixe se ramène à une rotation. Sans point fixe et avec une translation axiale non nulle, il s'agit d'un vissage. Lorsque l'angle et l'avance varient proportionnellement à un même paramètre, tout point extérieur à Δ parcourt une hélice. Si l'avance est non nulle, un point situé sur Δ parcourt l'axe Δ lui-même ; si elle est nulle, il reste fixe.

Prenons l'axe vertical Δ, le point P de coordonnées (3 cm, 0, 0), une rotation de 90° dans le plan horizontal et une translation de 2 cm vers le haut. La distance de P à l'axe vaut 3 cm.

1. La rotation envoie P sur le point de coordonnées (0, 3 cm, 0).

2. La translation ajoute 2 cm à la troisième coordonnée. Le point obtenu a donc pour coordonnées (0, 3 cm, 2 cm). La figure sépare ces deux effets sans changer leurs données.

3. En répétant quatre fois le même déplacement, la rotation totale vaut 4 × 90° = 360° et la translation totale vaut 4 × 2 cm = 8 cm. Le point arrive en (3 cm, 0, 8 cm).

4. Pour une progression continue, le paramètre t compte le nombre de déplacements. Les trois coordonnées de la trajectoire sont données par la formule suivante, avec les longueurs en centimètres.

À t = 4, la formule redonne (3 cm, 0, 8 cm). Ce contrôle confirme le tour complet et le pas de 8 cm.

Pour décrire le mouvement géométrique d'une vis, on relie son angle de rotation à son avance le long de l'axe. Une rotation seule convient si la pièce tourne sans avancer ; le vissage convient lorsque les deux effets sont liés.

Dans une construction géométrique en trois dimensions, on applique séparément la rotation et la translation parallèle à l'axe. Leur commutation permet de choisir l'ordre de calcul le plus lisible, puis de contrôler que les deux ordres donnent les mêmes coordonnées.

Pour reconnaître la trajectoire, on vérifie que la distance à l'axe reste constante et qu'à des angles égaux correspondent des avances axiales égales. Si l'un de ces critères échoue, le mouvement ne produit pas l'hélice circulaire associée à ce vissage.

Le déplacement et sa trajectoire. Le déplacement hélicoïdal est une transformation de tout l'espace ; l'hélice est la courbe suivie par un point extérieur à l'axe pendant une réalisation continue. Dans l'exemple, le vissage envoie P sur (0, 3 cm, 2 cm), tandis que l'hélice contient toutes les positions intermédiaires.

Une rotation et une translation choisies arbitrairement. Pour commuter autour de l'axe Δ donné, le vecteur de translation doit être parallèle à Δ. Une translation transversale change le résultat selon l'ordre ; la composée peut toutefois se réécrire comme un vissage autour d'un autre axe, qu'il faut alors déterminer.

Translation axiale nulle. Si l'avance vaut 0, la transformation est une rotation et tous les points de l'axe sont fixes. Il faut alors parler de rotation, même si elle peut être vue comme un vissage dégénéré dans certaines conventions.

Angle nul modulo 360°. Avec une avance non nulle, la transformation finale est une translation parallèle à l'axe. Le représentant 0° donne une trajectoire droite ; un représentant 360° peut décrire un tour complet. La transformation seule ne permet donc pas de choisir entre ces réalisations continues.

Point placé sur l'axe. Même si la rotation et la translation sont toutes deux non nulles, ce point ne tourne pas autour de Δ. Il avance sur Δ ; pour observer une hélice, il faut choisir un point situé à une distance strictement positive de l'axe.

Paramètres non uniques. Ajouter 360° à l'angle ne change pas l'application finale, mais change la réalisation continue retenue et son pas. Inverser l'orientation de Δ change aussi les signes employés. Il faut fixer l'orientation et un représentant de l'angle avant de comparer deux descriptions.

La fiche Vissage prolonge le vocabulaire propre à cette transformation et à ses paramètres géométriques.

La fiche Hélice étudie la courbe parcourue par un point extérieur à l'axe lorsque le mouvement devient continu.

La fiche translation isole la composante qui mesure l'avance parallèle à l'axe du déplacement.