Rodrigues Olinde

En France, en 1815, Olinde Rodrigues soutient une thèse sur l'attraction des sphéroïdes et un mémoire sur la rotation d'un corps. Son idée féconde consiste à décrire les mouvements dans l'espace pour eux-mêmes, sans partir des forces qui les provoquent.

Il étudie ainsi comment représenter et composer des rotations. Il examine aussi le vissage : un objet tourne autour d'un axe tout en avançant le long de ce même axe, à la manière d'une vis.

Benjamin Olinde Rodrigues (1795–1851) est un mathématicien, économiste et réformateur social français. En mathématiques, il travaille sur la représentation des rotations et des déplacements rigides de l'espace tridimensionnel. Un déplacement rigide conserve les distances entre les points de l'objet ; Rodrigues l'étudie abstraitement, indépendamment des forces physiques qui pourraient le produire.

Ses recherches portent notamment sur la composition des rotations et leur représentation par des paramètres. Il étudie également le vissage, composé d'une rotation autour d'un axe et d'une translation suivant ce même axe, ainsi que sa décomposition en transformations élémentaires. Ses travaux sur les rotations ont ensuite été en partie occultés par les quaternions d'Hamilton.

Son parcours ne se réduit pas aux mathématiques. Adhérant à la doctrine saint-simonienne, il contribue aussi à la publication des œuvres complètes d'Enfantin. La date de 1815 concerne précisément sa thèse De l'attraction des sphéroïdes, où il énonce la formule de Rodrigues, et son mémoire sur le mouvement de rotation d'un corps de révolution pesant.

Considérons un vissage dans un repère cartésien direct. Les données sont l'axe vertical z, le point initial P de coordonnées (1, 0, 0), une rotation positive de 90° autour de cet axe et une translation de 2 unités dans le sens positif de z. Vue depuis le demi-axe positif z, la rotation positive va dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1. Pour des coordonnées nommées x, y et z, le quart de tour autour de l'axe z applique la règle suivante : $(x,y,z)\mapsto (-y,x,z)(x,y,z)\backslash mapsto(-y,x,z)$.

2. En appliquant cette règle à P, on obtient le point intermédiaire Q : $(1,0,0)\mapsto (0,1,0)(1,0,0)\backslash mapsto(0,1,0)$.

3. La translation ajoute ensuite 2 à la coordonnée z sans changer les deux autres : $(0,1,0)\mapsto (0,1,2)(0,1,0)\backslash mapsto(0,1,2)$. Le point final P′ a donc pour coordonnées (0, 1, 2).

Le contrôle est direct : la distance à l'axe z vaut 1 unité avant et après la rotation, tandis que la coordonnée z augmente exactement de 2 unités. La figure décompose ces deux effets sans changer les données du mouvement.

Pour décrire un objet qui tourne autour d'un axe fixe sans avancer le long de cet axe, une rotation suffit. On précise alors l'axe, l'angle et la convention de sens.

Si le même mouvement comporte aussi un déplacement le long de l'axe de rotation, le vissage réunit les deux opérations. Le critère observable est la variation de position dans la direction de l'axe pendant que l'objet tourne.

Pour composer plusieurs rotations, il faut conserver leur ordre et leur paramétrage au lieu de n'additionner que des angles. Les travaux de Rodrigues abordent précisément cette représentation et cette composition ; les quaternions d'Hamilton offrent une autre représentation, développée postérieurement.

Une rotation seule et un vissage ne décrivent pas le même déplacement. Si la position le long de l'axe reste inchangée, il s'agit d'une rotation ; si elle change en plus de la rotation, l'exemple relève du vissage.

Les travaux de Rodrigues sur les rotations et les quaternions d'Hamilton ne sont pas deux noms pour un même objet. La source les rattache à deux développements historiques distincts : les premiers précèdent les seconds, qui les ont en partie occultés.

Le mot vissage impose ici un axe commun à la rotation et à la translation. Si les deux opérations sont décrites suivant des axes différents, les données ne correspondent plus à la définition donnée dans cette fiche ; il faut décrire séparément le déplacement effectivement composé.

Une rotation de 0° accompagnée d'une translation le long de l'axe ne rend pas visible la composante tournante. Il faut alors signaler ce cas dégénéré au lieu de laisser croire qu'un point a parcouru un arc.

Enfin, 1815 date la thèse sur l'attraction des sphéroïdes et le mémoire sur le corps de révolution pesant. La source ne date pas plus précisément les travaux de Rodrigues sur la composition des rotations, leur paramétrage ou le vissage ; leur attribuer automatiquement la même année serait injustifié.

La rotation vectorielle prolonge l'exemple en donnant un cadre dédié aux rotations et à leur action sur des vecteurs.

Le quaternion présente l'autre représentation mentionnée dans le parcours historique des travaux sur les rotations.