GéométrieNotion · Glossaire
rotation vectorielle
Une rotation vectorielle est une isométrie linéaire positive d’un espace vectoriel euclidien orienté : elle conserve longueurs et angles, fixe l’origine et préserve l’orientation. Dans le plan, un angle la détermine ; en dimension 3, une rotation non identique est déterminée par un angle et un axe orienté. Elle sert à faire pivoter des vecteurs ou leurs coordonnées sans déformer la géométrie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les propriétés conservées par une rotation vectorielle.
- Appliquer la matrice d’une rotation de 90° à un vecteur du plan.
- Relier la matrice plane, l’écriture complexe et le cas d’un axe en dimension 3.
- Distinguer une rotation vectorielle d’une rotation affine et d’une réflexion.
En clair
Imaginez une flèche tracée depuis l’origine d’un repère. Une rotation vectorielle la fait pivoter d’un angle choisi, sans l’allonger ni la raccourcir. Avec un quart de tour dans le sens positif, la flèche allant vers le point (2, 1) aboutit au point (−1, 2).
Toutes les flèches subissent le même mouvement. L’origine reste fixe, les longueurs et les angles sont conservés, ainsi que l’orientation du plan.
Définition
Dans un plan euclidien orienté, une rotation vectorielle est une application linéaire qui conserve le produit scalaire et l’orientation. Elle fixe donc le vecteur nul, conserve les longueurs et les angles, et son déterminant vaut 1. L’angle orienté, noté θ, la caractérise entièrement, à un multiple entier de 2π près.
Dans une base orthonormée directe, la matrice de la rotation d’angle θ est :
Si le plan est identifié aux nombres complexes, on note i l’unité imaginaire. Le point d’affixe z est alors envoyé sur le point d’affixe . Ces deux écritures décrivent la même transformation.
Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, une rotation non identique fixe une droite, appelée axe. Une orientation de cet axe fixe le sens positif dans le plan perpendiculaire. Pour l’axe porté par le premier vecteur d’une base orthonormée directe, la matrice est :
L’angle et cet axe orienté déterminent alors la rotation.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan muni d’une base orthonormée directe, on fait tourner le vecteur allant de l’origine au point P(2, 1). En notant π le nombre pi, les données sont l’angle θ = 90°, soit π/2 radians, et les coordonnées initiales x = 2 et y = 1.
1. Pour cet angle, cos θ = 0 et sin θ = 1. La matrice devient :
2. On applique la matrice au vecteur colonne :
Le point obtenu est donc P′(−1, 2). Le schéma associé matérialise le quart de tour sans modifier la distance à l’origine.
3. Le contrôle de longueur donne, avant comme après la rotation, une longueur au carré égale à 5 : 22 + 12 = (−1)2 + 22 = 5.
Le résultat est exact : le vecteur (2, 1) devient (−1, 2). Un second contrôle consiste à vérifier que le déterminant de la matrice vaut 0 × 0 − (−1 × 1) = 1.
En pratique
En géométrie analytique, la matrice de rotation transforme directement les coordonnées d’un vecteur. Pour un pivot autour d’un point qui n’est pas l’origine, on translate d’abord ce point vers l’origine, puis on effectue la rotation et la translation inverse.
Dans le plan complexe, une multiplication par cos θ + i sin θ remplace le calcul matriciel. Cette écriture est pratique lorsque les points sont déjà décrits par leurs affixes ; la matrice reste préférable dans un calcul général d’algèbre linéaire.
En trois dimensions, on recherche d’abord l’axe laissé fixe. Lorsque l’axe coïncide avec un vecteur de la base, la matrice prend une forme simple ; pour un axe quelconque, il faut adapter la base ou employer une formule générale de rotation.
À ne pas confondre
Rotation vectorielle et rotation autour d’un point. La première est linéaire et fixe l’origine. Une rotation géométrique de centre C agit sur un point M en faisant tourner le vecteur allant de C à M. Si C n’est pas l’origine et si l’angle n’est pas nul modulo 2π, cette transformation n’est pas une rotation vectorielle.
Rotation et réflexion. Les deux transformations conservent les longueurs, mais une rotation plane conserve l’orientation et a pour déterminant 1. Une réflexion inverse l’orientation et a pour déterminant −1. L’image d’une base directe fournit donc un test qui les sépare.
Limites et pièges
Angles équivalents. Les angles θ et θ + 2kπ, où k est un entier, donnent la même rotation plane. Deux mesures d’angle différentes ne signalent donc pas nécessairement deux transformations différentes.
Cas charnières. Pour θ = 0 modulo 2π, la rotation est l’identité : tous les vecteurs sont fixes et aucun axe unique ne se distingue en dimension 3. Pour θ = π, le sens choisi sur l’axe ne change pas la transformation.
Convention de calcul. La matrice affichée suppose des vecteurs colonnes et une base orthonormée directe. Avec des vecteurs lignes, la matrice agit de l’autre côté et se transpose ; ignorer cette convention inverse le signe apparent de l’angle.
Au-delà de la dimension 3. Un seul angle et un seul axe ne décrivent plus toutes les rotations. En dimension 4 ou davantage, une rotation peut agir simultanément dans plusieurs plans orthogonaux, avec des angles distincts.
Pour aller plus loin
L’article isométrie vectorielle replace la rotation parmi les applications linéaires qui conservent les distances et aide à reconnaître le rôle du déterminant.
La fiche Argument d'un nombre complexe approfondit l’angle porté par une affixe et éclaire l’écriture complexe d’une rotation plane.
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