groupe d'isométries

Imaginez un carré transparent que l’on peut faire glisser, tourner ou retourner sans l’étirer. Chacun de ces mouvements conserve toutes les distances. Après deux mouvements successifs, le carré a encore subi un mouvement du même genre.

Le groupe d’isométries rassemble ces transformations et la manière de les enchaîner. Ne rien faire joue le rôle d’identité. Chaque mouvement peut aussi être défait par un mouvement inverse. L’ordre compte souvent : retourner puis tourner le carré ne produit pas nécessairement le même placement que tourner puis retourner.

Dans un espace euclidien, une isométrie est une application bijective qui conserve la distance entre toute paire de points. Le groupe des isométries, noté ici Iso(E) pour un espace affine E, est l’ensemble de ces applications muni de la composition. Si f et g sont deux isométries, la composée f ∘ g signifie que l’on applique d’abord g, puis f. Elle conserve encore les distances. L’identité appartient à Iso(E), la composition est associative et l’application réciproque de toute isométrie appartient aussi à Iso(E).

Dans un espace vectoriel euclidien V, les isométries vectorielles fixent l’origine et forment le groupe orthogonal O(V). Dans un espace affine, une isométrie s’écrit comme une isométrie vectorielle suivie d’une translation. Les translations forment un sous-groupe. Les isométries qui préservent une figure donnée forment son groupe de symétrie, lui-même sous-groupe du groupe ambiant. En revanche, l’ensemble de toutes les réflexions n’est généralement pas un sous-groupe : la composée de deux réflexions peut être une rotation ou une translation. Dans le plan, toute isométrie est une composée de réflexions.

La composition n’est en général pas commutative. Dans le plan, une rotation et une réflexion peuvent donner des résultats différents selon leur ordre. Cette propriété dépend toutefois du groupe considéré : le groupe orthogonal d’une droite ne contient que l’identité et la symétrie par rapport à l’origine, qui commutent.

La structure repose sur cinq éléments. L’espace euclidien fournit les points et la distance à préserver. Les isométries sont les transformations admises. La composition enchaîne deux transformations dans un ordre déterminé. L’identité laisse chaque point en place. Enfin, l’inverse ramène chaque point à sa position antérieure.

La distance détermine donc quelles applications entrent dans l’ensemble, tandis que la composition détermine comment elles interagissent. L’existence de l’identité et des inverses permet d’annuler tout enchaînement. Un sous-groupe apparaît lorsque certaines isométries restent fermées par composition et par passage à l’inverse : c’est le cas des translations, ou des isométries qui conservent une figure fixée. Ces données suffisent à composer des mouvements, retrouver un mouvement initial et étudier les symétries d’un objet. Le dessin, la couleur ou l’échelle choisie pour représenter l’espace ne définissent pas le groupe.

Considérons le carré centré à l’origine dont les sommets sont A(1, 1), B(−1, 1), C(−1, −1) et D(1, −1). La rotation r d’un quart de tour dans le sens direct transforme un point (x, y) en (−y, x). La réflexion s par rapport à l’axe horizontal transforme (x, y) en (x, −y).

1. Pour calculer r ∘ s sur A, appliquons d’abord s : A devient D.
2. Appliquons ensuite r : D devient A. Ainsi, (r ∘ s)(A) = A.
3. Pour calculer s ∘ r sur A, appliquons d’abord r : A devient B.
4. Appliquons ensuite s : B devient C. Ainsi, (s ∘ r)(A) = C.

Les deux composées n’envoient pas A sur le même sommet : r ∘ s et s ∘ r sont donc différentes. Le contrôle consiste à suivre les sommets dans l’ordre indiqué dans le schéma. Chaque transformation permute les quatre sommets et conserve les longueurs du carré.

Pour décrire une suite de déplacements rigides, on compose les isométries dans l’ordre d’exécution. Si une déformation change une longueur, il faut employer une transformation affine plus générale plutôt qu’une isométrie.

Pour étudier les symétries d’un carré, d’un pavage ou d’un solide, on retient seulement les isométries qui replacent la figure exactement sur elle-même. Si la figure n’est pas préservée, on travaille dans le groupe complet de l’espace, pas dans son groupe de symétrie.

En coordonnées, on sépare la partie qui tourne ou réfléchit de la translation. Une transformation qui fixe l’origine relève du groupe orthogonal ; dès que l’origine est déplacée, le cadre affine est nécessaire.

Le groupe des isométries d’un espace n’est pas le groupe de symétrie d’une figure. Le premier contient tous les déplacements rigides de l’espace ; le second ne garde que ceux qui laissent la figure inchangée. Une translation quelconque appartient au premier, mais pas au groupe de symétrie d’un carré isolé.

Une isométrie vectorielle n’est pas une isométrie affine quelconque. La première fixe obligatoirement l’origine. Une translation non nulle conserve les distances et est affine, mais elle déplace l’origine : elle n’est donc pas vectorielle.

Une réflexion isolée est une isométrie, mais l’ensemble de toutes les réflexions n’est pas un groupe. Deux réflexions successives peuvent produire une rotation ; la fermeture par composition échoue donc si l’on refuse cette rotation.

La non-commutativité doit être rattachée au groupe précis. Le groupe orthogonal d’une droite, en dimension 1, a deux éléments et est commutatif. Le groupe affine des isométries de cette même droite contient aussi les translations ; une translation non nulle et une réflexion n’y commutent pas. Il faut donc préciser « affine » ou « vectoriel » avant de conclure.

Les mots « groupe des rotations » ou « groupe des réflexions » peuvent masquer une restriction. Les rotations de centre fixé forment un groupe, mais toutes les rotations de centres variables ne sont pas fermées par composition. Toutes les réflexions ne le sont pas davantage. Il faut vérifier identité, composition et inverse pour la famille réellement considérée.

L’écriture f ∘ g se lit de droite à gauche : g agit avant f. Changer cette convention sans l’annoncer inverse l’ordre des opérations et peut faire croire à tort que deux transformations commutent. Le contrôle fiable consiste à suivre un même point, comme le sommet A du carré, dans chacun des deux ordres.

L’article isométrie vectorielle détaille le cas des transformations qui conservent les distances et fixent l’origine.

La fiche translation approfondit le sous-groupe qui déplace tous les points du même vecteur.

La fiche Réflexion présente l’isométrie qui retourne l’espace par rapport à un axe, un plan ou un hyperplan.