bulle de savon

Plongez un anneau dans de l'eau savonneuse : une fine pellicule s'y accroche. Si le contour n'est pas plat, le film se courbe sans qu'il soit nécessaire de le modeler. La tension superficielle tire partout sur la pellicule et favorise une aire aussi petite que possible parmi les formes accessibles.

Une bulle sans contact avec un support doit aussi enfermer un volume d'air. La forme sphérique répond à cette double contrainte : à volume fixé, aucune autre surface fermée n'a une aire plus petite.

Un film de savon est une pellicule liquide possédant deux interfaces avec l'air. Dans le modèle idéal où la tension superficielle est uniforme, son énergie est proportionnelle à son aire. Un film attaché à un contour fixe peut atteindre un état d'équilibre stationnaire ; si cet équilibre est un minimum local, son aire ne diminue sous aucune déformation admissible suffisamment petite. Le problème de Plateau consiste à chercher une surface de moindre aire bordée par un contour donné.

Dans sa partie intérieure régulière, une surface minimale a une courbure moyenne nulle. Cette condition caractérise un équilibre local, mais elle ne garantit pas à elle seule le minimum global : plusieurs surfaces stationnaires peuvent partager le même bord. Le contour, la classe de surfaces admises et leur topologie font donc partie du problème.

Pour une bulle libre, la contrainte n'est plus un bord imposé mais un volume d'air fixé. Si le rayon de la sphère est noté r, son aire A et son volume V vérifient $A=4\pi r^{2}A=4\backslash pi\; r^2$ et $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}V=\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash pi\; r^3$. L'inégalité isopérimétrique affirme que la sphère est l'unique minimiseur, à déplacement près, parmi les surfaces fermées suffisamment régulières qui enferment ce volume.

Comparons une bulle sphérique et deux bulles sphériques égales qui enferment ensemble le même volume. Données : la bulle unique a un rayon de 3 cm ; les deux petites bulles ont le même rayon ; on emploie les formules de l'aire et du volume d'une sphère.

1. Le volume de la bulle unique vaut $V_1=\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi \approx \mathrm{113,10}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\_1=\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash pi\backslash times3^3=36\backslash pi\backslash approx113\{,\}10\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^3$.

2. Son aire vaut $A_1=4\pi \times 3^2=36\pi \approx \mathrm{113,10}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A\_1=4\backslash pi\backslash times3^2=36\backslash pi\backslash approx113\{,\}10\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$.

3. Pour partager le volume en deux parts égales, le rayon de chaque petite bulle doit être $r_2=\frac{3}{\sqrt[3]{2}}\approx \mathrm{2,38}\mathrm{c}\mathrm{m}r\_2=\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt[3]\{2\}\}\backslash approx2\{,\}38\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$.

4. L'aire totale des deux petites bulles est $A_{2,\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=2\times 4\pi r_2^2=36\pi \sqrt[3]{2}\approx \mathrm{142,49}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A\_\{2,\backslash mathrm\{total\}\}=2\backslash times4\backslash pi\; r\_2^2=36\backslash pi\backslash sqrt[3]\{2\}\backslash approx142\{,\}49\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$. Elle dépasse d'environ 26 % celle de la bulle unique.

5. Le contrôle du volume redonne exactement $2\times \frac{4}{3}\pi {\left(\frac{3}{\sqrt[3]{2}}\right)}^3=36\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}2\backslash times\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash pi\backslash left(\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt[3]\{2\}\}\backslash right)^3=36\backslash pi\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^3$. À volume total égal, fractionner l'air augmente donc l'aire totale.

Avec un anneau rigide, on observe un film plat lorsque le contour est plan. Si le fil est déformé dans l'espace, le film offre une réalisation physique d'une surface stationnaire, souvent stable, pour ce nouveau bord ; dans les conditions appropriées, cette surface peut être un minimiseur du problème de Plateau, mais ce n'est pas garanti pour tout équilibre observé.

Pour comparer deux formes fermées qui doivent contenir la même quantité d'air, on fixe leur volume et on calcule leurs aires. La sphère sert alors de référence ; si le contour est imposé au lieu du volume, il faut revenir au problème de Plateau.

Dans une expérience, on fait varier doucement le cadre et l'on regarde si le film conserve sa forme ou bascule vers une autre configuration. Ce changement signale que plusieurs équilibres peuvent être accessibles pour un même dispositif.

Surface minimale et surface de moindre aire. Une surface minimale a une courbure moyenne nulle dans sa partie régulière : c'est un critère local. Une surface de moindre aire gagne la comparaison avec toutes les concurrentes admises. Une surface stationnaire mais instable tranche le cas : elle est minimale au sens différentiel, sans être le minimum global.

Film de savon et bulle de savon. Le film est bordé par un cadre ; la bulle est une surface fermée qui enferme un gaz. Un disque savonneux tendu sur un anneau relève d'un contour fixé. Une bulle isolée relève d'un volume fixé et d'une différence de pression.

Minimum local. Un film réel peut rester dans un équilibre stable accessible sans atteindre la plus petite aire parmi toutes les topologies possibles. Si une légère perturbation le fait basculer, il faut comparer les configurations au lieu de conclure à un minimum global.

Modèle idéal. L'argument de minimisation suppose notamment une tension superficielle uniforme et un équilibre. L'épaisseur du film, son drainage, la gravité ou un courant d'air produisent des écarts observables ; il faut alors traiter la forme comme une approximation du modèle.

Division du volume. Deux bulles égales séparées, contenant ensemble le volume d'une bulle, ont environ 26 % d'aire totale en plus. Ce cas charnière montre que fixer le volume total ne suffit pas : il faut aussi préciser le nombre de composantes admises.

Contacts entre bulles. Un amas partage des films et n'est pas une collection de sphères indépendantes. Si les bulles se touchent, le calcul de deux sphères séparées ne s'applique plus ; il faut inclure les interfaces communes et les pressions des cellules.

Le glossaire surface minimale précise le critère géométrique qui gouverne l'intérieur régulier d'un film à l'équilibre.

L'article Exquises surfaces minimales prolonge l'observation des films vers d'autres formes et questions de géométrie.

L'article L’étonnant problème de l’apéritif ouvre une autre porte vers le problème de Plateau et ses contraintes.