GéométrieNotion · Glossaire
problème isopérimétrique
Un problème isopérimétrique consiste à maximiser l'aire ou le volume d'une figure sous une contrainte fixée sur son bord, ou, dualement, à minimiser la mesure du bord pour une aire ou un volume donné. Dans le plan, parmi les figures fermées admissibles à bord rectifiable et de périmètre donné, le disque possède l'aire maximale. Ce principe détermine ainsi la forme la plus efficace lorsqu'une quantité de bord est limitée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la contrainte et la grandeur à optimiser.
- Relier le cercle, le disque et l'inégalité 4πA ≤ L².
- Comparer exactement un carré et un disque de périmètre 12 m.
- Reconnaître les limites liées à la classe de formes et à la dimension.
En clair
Imaginez une corde de 12 m refermée sur elle-même. Selon la forme donnée à cette boucle, la surface entourée change, alors que la longueur de corde reste la même. Un carré enferme 9 m² ; un disque en enferme environ 11,46 m².
Le problème isopérimétrique cherche la forme la plus avantageuse sous cette contrainte. Dans le plan, aucune boucle fermée de 12 m ne délimite plus d'aire que le cercle.
Définition
Un problème isopérimétrique est une optimisation géométrique sous contrainte. Dans sa forme plane classique, la longueur du bord est fixée et l'on cherche la région d'aire maximale. La formulation duale fixe l'aire et demande le bord de longueur minimale.
On note L le périmètre de la région plane et A son aire. L'inégalité isopérimétrique s'écrit . Elle équivaut à . L'égalité est atteinte par le disque : son bord est un cercle. La question suppose une région bornée dont l'aire et le périmètre sont bien définis.
Si l'on se limite aux polygones ayant un nombre fixé n de côtés et un même périmètre, le maximum est atteint par le polygone régulier. Dans l'espace, l'analogue fixe l'aire de surface et maximise le volume enfermé : la forme optimale est la sphère.
Un exemple, pas à pas
Une corde de 12 m forme d'abord un carré, puis un cercle. Les données sont : une longueur totale de 12 m et deux boucles fermées. On compare les aires qu'elles délimitent.
1. Le carré a quatre côtés égaux. La longueur d'un côté vaut 12 ÷ 4 = 3 m.
2. Son aire vaut 3 × 3 = 9 m².
3. Pour le cercle, le rayon r vérifie . Ainsi, m.
4. L'aire du disque vaut exactement m², soit environ 11,46 m².
Le disque gagne donc environ 2,46 m² sur le carré. Pour contrôler le résultat, l'inégalité donne l'aire maximale m² : le calcul du disque atteint bien cette borne.
En pratique
Dans un exercice de géométrie, on commence par repérer la grandeur imposée : périmètre, aire ou surface. Si le périmètre est fixé et que l'aire varie, l'inégalité isopérimétrique fournit directement une borne.
Pour comparer plusieurs tracés fermés de 12 m, on calcule leur aire dans la même unité. Le disque sert de référence : une aire supérieure à 36/π m² signale une erreur de mesure ou de calcul.
Si seules les formes polygonales à n côtés sont admises, on compare avec le polygone régulier correspondant, et non directement avec un cercle qui sort de la classe autorisée.
À ne pas confondre
Cercle et disque. Le cercle est la courbe fermée dont on mesure la longueur ; le disque est la région qu'elle délimite et dont on mesure l'aire. Dans l'exemple de la corde, la corde forme le cercle, tandis que les 36/π m² appartiennent au disque.
Problème isopérimétrique et simple calcul d'aire. Calculer l'aire d'une forme déjà choisie ne suffit pas. Il y a optimisation seulement si plusieurs formes admissibles partagent la même contrainte et si l'on cherche la meilleure.
Limites et pièges
Périmètre nul. Lorsque L = 0, l'inégalité impose A = 0. Il n'existe alors aucune région plane non dégénérée à optimiser ; il faut traiter ce cas avant de diviser par L.
Classe de formes mal précisée. Le verdict dépend des objets autorisés. Pour les polygones, le nombre n de côtés doit rester fixé pour conclure que le polygone régulier est optimal dans cette classe.
Aire et bord mal définis. Une courbe ouverte ne délimite pas à elle seule une région. Il faut d'abord fermer le contour et vérifier que la région est bornée avant d'appliquer la formulation plane.
Changement de dimension. Dans le plan, on relie longueur du bord et aire. Dans l'espace, on relie aire de surface et volume ; remplacer ces grandeurs l'une par l'autre sans changer de formule produit un test incohérent.
Pour aller plus loin
La tradition associe l'intuition isopérimétrique à la reine Didon et à la délimitation de Carthage. Les Grecs ont étudié la version polygonale ; Jacques Bernoulli et Steiner ont ensuite travaillé sur le problème.
Weierstrass en a donné la première démonstration complète en dimension 2 dans le cadre du calcul des variations. Les généralisations ultérieures ont notamment mobilisé Minkowski, Hausdorff, A. Alexandrov et W. Fenchel.
Pour sécuriser les comparaisons numériques, la fiche unités de mesure d'aire rappelle comment exprimer et convertir les surfaces avant de les confronter.
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