problème de Didon

Dans la légende antique située en Afrique du Nord, Didon découpe une peau de bœuf en fines lanières pour obtenir une corde d’environ 4 km. Elle utilise le rivage comme fermeture gratuite et courbe toute la corde en demi-cercle.

Le défi consiste à enfermer la plus grande surface possible sans allonger la corde. Le demi-cercle est optimal lorsque le rivage est droit. Sans rivage pour fermer le terrain, la même question conduit au cercle complet.

Le problème de Didon est la version du problème isopérimétrique dans laquelle une frontière rectiligne, comme un rivage, ferme gratuitement un côté du domaine. On considère une courbe simple de longueur fixée, placée dans un même demi-plan et dont les deux extrémités appartiennent à la droite frontière. Avec le segment de cette droite compris entre ses extrémités, la courbe délimite une aire.

Si la longueur disponible pour la partie courbe est notée L et si L est positive, l’aire maximale A_max est obtenue par un demi-cercle. Son rayon r, son diamètre d et son aire vérifient : Cette solution est unique à un déplacement ou une réflexion près dans ce cadre idéal.

Dans le plan entier, la frontière doit être entièrement fournie : pour un périmètre fixé, le cercle complet enferme alors l’aire maximale. La distinction essentielle porte donc sur ce qui est compté : seulement l’arc dans la version avec rivage, ou tout le contour dans la version sans frontière.

Didon dispose d’une corde d’environ 4 km et d’un rivage supposé rectiligne. Les données sont donc : longueur de l’arc L = 4 km ; segment de rivage non compté dans cette longueur ; terrain situé d’un seul côté du rivage.

1. Pour un demi-cercle, la longueur de l’arc vaut π fois le rayon. Le rayon est donc :

2. Le diamètre posé sur le rivage vaut deux rayons :

3. L’aire d’un demi-disque vaut la moitié de π fois le carré du rayon :

La figure matérialise la corde courbe et le segment de rivage qui ferme le terrain sans consommer de corde.

Le terrain optimal a donc une aire d’environ 2,546 km². Pour contrôler le calcul, la longueur du demi-cercle vaut πr = π × (4/π) = 4 km : toute la corde annoncée est bien utilisée.

Lorsqu’une droite peut former gratuitement un côté, on réserve toute la longueur disponible à la frontière courbe. Le demi-cercle est alors le choix qui maximise l’aire dans le modèle idéal du rivage rectiligne.

Lorsque tout le contour doit être construit, le segment de fermeture n’est plus gratuit. Il faut employer la version plane du problème isopérimétrique : le cercle complet devient la forme optimale.

Pour tester une proposition, on fixe d’abord la longueur réellement comptée, puis on calcule l’aire délimitée. Une forme plus allongée peut sembler couvrir davantage, mais elle perd de l’aire à longueur de contour égale.

Problème de Didon et problème isopérimétrique dans le plan. Dans le premier, une droite ferme un côté sans être comptée dans la longueur disponible ; dans le second, tout le contour est compté. Avec 4 km de frontière à fournir, le premier conduit à un demi-cercle, le second à un cercle.

Cercle et disque. Le cercle est la ligne frontière, tandis que le disque est la surface qu’elle enferme. Le problème fixe une longueur de frontière et cherche à maximiser l’aire de la surface correspondante.

Longueur nulle. Si L = 0, aucune aire positive ne peut être enfermée. La formule donne bien A_max = 0 ; le demi-cercle n’est non dégénéré que pour L > 0.

Rivage non rectiligne. La conclusion « demi-cercle » suppose une frontière droite. Si la frontière est courbe ou irrégulière, le symptôme est que le diamètre ne peut pas s’y poser comme un segment ; il faut reformuler l’optimisation avec la géométrie réelle de cette frontière.

Mauvais décompte du contour. Si le segment situé sur le rivage consomme lui aussi la longueur disponible, appliquer la formule L²/(2π) surestime l’aire. Il faut compter tout le contour et résoudre le problème isopérimétrique du plan.

Courbe qui se croise ou domaines séparés. Le résultat porte sur une courbe simple délimitant un domaine. Des croisements rendent l’aire « intérieure » ambiguë, et répartir la longueur entre plusieurs composantes ne produit pas un meilleur cas ; il faut d’abord identifier un contour simple et l’aire qu’il borde.

problème isopérimétrique — Situer le cas du rivage dans la question générale qui relie périmètre fixé et aire maximale.

Le problème de Didon — Prolonger la lecture par l’article consacré à cette optimisation géométrique et à son récit fondateur.